Límites, derivadas y división por cero. [¿Contradicción en las definiciones de derivada?]

Question

En la definición del límite donde el denominador es $x - a$ y tomamos el límite como $x$ se acerca a $a$ suponemos que este denominador no es igual a cero. ¿De dónde viene esta suposición (además de que es necesario evitar la división por cero)?

¿Por qué no está esto en contradicción directa con la definición de continuidad, que establece que cuando una función es continua el límite como $x$ se acerca a $a$ será igual a $f(a)$ siempre que el rango alrededor de $f(a)$ no es infinita.

Si $f(x) = x$ y el límite como $x$ se acerca a $a$ es igual a $f(a)$ ¿por qué en las definiciones límite se nos permite suponer que el límite del término $x$ como $x$ se acerca a $a$ no conducirá simplemente a $a - a$ o, más sencillamente, el límite como $h$ se acerca a $0$ no será simplemente igual a $0$ ? ¿Cómo se calculan los límites del $x$ o $h$ en las fórmulas de la derivada que calcular el límite de una función lineal?

Answer 1

La expresión que nos interesa es:

$\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

En un comentario hablas de "aplicar primero las leyes límite". Pues bien, vamos a intentarlo a ver hasta dónde llegamos.

Claro, por continuidad, y por la ley límite de que "la diferencia de dos límites es el límite de la diferencia", tenemos $\displaystyle \lim_{x\to a} (f(x)-f(a)) =0$ .

Aún más fácil, tenemos $\displaystyle \lim_{x\to a} (x-a) =0$ .

¿Y ahora qué? Parece como si quisieras aplicar la ley del límite según la cual "un cociente de límites es el límite del cociente", o bien

Si $R:=\displaystyle \lim_{x\to a} r(x)$ y $S:=\displaystyle \lim_{x\to a} s(x)$ existe, entonces el límite $\lim_{x\to a}\dfrac{r(x)}{s(x)}$ también existe y es igual a $R/S$ .

Bueno, si se dice así, esta ley límite es equivocado y si se fijan bien en sus apuntes de clase o en sus libros de texto, verán (espero) que, en cambio, sólo es cierto bajo una supuesto especial sobre $S$ . ¿Ves lo que es esta condición extra?

En otras palabras, pensar que se puede evaluar $$\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ evaluando $$\displaystyle \frac{\lim_{x\to a} (f(x)-f(a))}{\lim_{x\to a} (x-a)}$$ es exactamente el paso en falso que está buscando que "intrínsecamente falta alguna información crucial".

La condición extra sobre el denominador que necesitaríamos para esa manipulación no se cumple exactamente en tu caso, y por tanto no puedes aplicar esa "ley". El límite del cociente tiene que calcularse de otra manera, y no surge ninguna contradicción.

Answer 2

La continuidad de una función implica no sólo el comportamiento de una función en un punto, sino la relación que tiene con el punto cercano a él, de modo que sepamos que sigue conectada allí en algún sentido significativo. Así que ya que estamos considerando el punto cerca pero no exactamente en ese punto los límites evitan la división más como un artefacto de esto ya que no estamos realmente preocupados por el valor $f(a)$ a menos que queramos afirmar que la función es continua comparando sus valores con los de la función. Si no está definida en ese punto, entonces alguna vez podemos definirla allí por el límite, si existe, y éstas se llaman discontinuidades removibles ya que podemos deshacernos de ellas. Todas las nociones de continuidad tendrán que tratar con el comportamiento cerca, pero no exactamente en el punto y la definición topológica de continuidad refleja esto también. Así que no se trata tanto de un engaño como de un examen necesario de la vecindad.