Matriz real$A_{3\times 3}$ tal que$\operatorname{tr(}A)=0$ y$A^2+A^T=I$?

Question

Estoy lidiando con la prueba de la Competencia Internacional de Matemáticas para Estudiantes de la Universidad de 2011, y he tenido un montón de dificultades, por lo que espero que alguien me pueda ayudar para discutir las preguntas.

La pregunta 2, dice:

No existe una verdadera matriz $A_{3\times 3}$ tal que $\operatorname{tr}(A)=0$ e $A^2+A^T=I$?

La única cosa que podría conseguir en que el problema es que si $A$ existe, por lo $\operatorname{tr}(A^2)=3$, debido a que

$\operatorname{tr}(A^2+A^T)=\operatorname{tr}(I)\Longrightarrow $ $\operatorname{tr}(A^2)+\operatorname{tr}(A^T)=3\Longrightarrow $ $\operatorname{tr}(A^2)+\operatorname{tr}(A)=3\Longrightarrow $ $\operatorname{tr}(A^2)=3$

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Deje $a,b,c$ ser las raíces del polinomio característico de a$A$ , de modo que $\det (xI-A)=(x-a)(x-b)(x-c)$ con $a,b,c \in \mathbb{C}$. Desde $tr(A)=0$, tenemos $a+b+c=0$. Desde $tr(A^2)=3$ como se encontró, tenemos $a^2+b^2+c^2=3$. Por lo tanto $$2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=-3.$$ Moreover, it follows that $\det(A^2)=\det(I-a^T)=\det(I-A)= (1-a)(1-b)(1-c)=1-3/2-abc=-0.5-abc$. On the other hand $\det(A^2)=\det(A)^2=(abc)^2$. So for $y=abc$ we have the equation $y^2+y+1/2=0$ which does not have real roots. We have proved that such a real matrix $$ no existe.

Answer 2

Si $A$ existe, $A^\ast=A^T=I-A^2$ es un polinomio en a$A$. Por lo tanto $A$ es normal y $A,A^T$ son simultáneamente unitarily diagonalisable más de $\mathbb C$. De ello se sigue que para cada autovalor $\lambda$ de $A$, tenemos $$ \lambda^2+\bar{\lambda}=1.\la etiqueta{$\ast$} $$

Ahora, si todos los autovalores de a$A$ son reales, cada uno de ellos debe ser igual a $\frac12(-1\pm\sqrt{5})$, pero, a continuación, $\operatorname{tr}(A)\ne0$.

Por lo tanto, $A$ debe tener algún no-real de los autovalores. Desde $A$ es real y traceless, sus tres autovalores son $\lambda_1=x+iy,\ \lambda_2=x-iy$ e $\lambda_3=-2x$ para algunos de los números reales $y\ne0$ e $x$. Mediante la inspección de la parte imaginaria de $(\ast)$ para $\lambda_1$, obtenemos $2ixy-iy=0$. Por lo tanto $2x=1$. Pero, a continuación, $\lambda_3=-2x=-1$ violaría $(\ast)$. Así, llegamos a la conclusión de que $A$ no existe.

Answer 3

Tenemos $A^T = I-A^2$ , a continuación, $A = (A^T)^T = I^T - (A^2)^T = I - (A^T)^2 = I - (I-A^2)^2$.

Por lo tanto, $A^4 - 2A^2 + A = 0$. Por LO $A(A-I)(A^2+A-I) = 0$

Vamos a llamar a $a,b,c$ nuestros valores propios. Tenemos $a+b+c = 0$ e $a,b,c \in \{ 0,1 , \frac{-1+\sqrt{5}}{2} , \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \}$.

La única posibilidad es $\{a,b,c \} = \{ 1, \frac{-1+\sqrt{5}}{2} , \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \}$.

Pero $a^2 + b^2 + c^2 = tr(A^2) = 3- tr(A^T) = 3$ , lo cual es absurdo.