Deje $A$ $ 2 \times 2 $ matriz y un número entero positivo $k \geq 2$. Demostrar que $A^k = 0 $ fib $A^2 = 0$.
Que puedo hacer para hacer este ejercicio si tengo $ \det (A^k) = (\det A)^k $. Pero esta pregunta viene antes de esto.
Muchas gracias por su ayuda!
La solución con el mínimo polinomio y de Cayley-Hamilton es un poco más de matar y algo de una solución mágica. Yo prefiero la siguiente no-solución mágica (para los no-trivial de implicación, y no hay necesidad de asumir la matriz es $2\times 2$).
Creo que de $A$ como un operador lineal $A: V \to V$ $V$ $n$- dimensional espacio vectorial, y supongamos $A^t=0$. Vamos a mostrar que $A^n=0$. Ahora, para cada una de las $m\ge 1$ considera que el espacio de $K_m$, el núcleo de $A^m$. Es inmediato que $K_{m}\subseteq K_{m+1}$. Desde $A^t=0$ se sigue que $K_t=V$. También es inmediato que si $K_m=K_{m+1}$, $K_m=K_{r}$ todos los $r>m$.
Por lo tanto, la secuencia de los núcleos es un aumento de la secuencia de subespacios, que estabiliza tan pronto como el próximo paso es igual a la anterior, y es, finalmente, todos los de $V$. Ahora vamos a usar el hecho de que $V$ es de dimensión $n$. Teniendo en cuenta las dimensiones de los granos, lo anterior implica que la secuencia de las dimensiones es estrictamente creciente hasta que se estabiliza. Desde que llegue a $V$, las dimensiones llegar a $n$ y desde la dimensión de $K_1$ no es cero, la secuencia de las dimensiones comienza a $1$ o más. Eso significa que tiene que estabilizarse después de no más de $n$ pasos, y por lo tanto $K_t=V$ algunos $t\le n$. Pero, a continuación,$K_n=V$,$A^n=0$.
El estándar y el enfoque más general para resolver este tipo de problemas es considerar el polinomio mínimo de a $A$ (ver las otras respuestas aquí). Sin embargo, en este particular problema, como $A$ solo $2\times2$, uno puede resolver el problema de la siguiente manera. Que en la implicación es trivial, solo tenemos en cuenta la implicación hacia atrás
Prueba 1. Si $A^k=0$ algunos $k\ge2$, $A$ es singular y tiene en la mayoría de rango 1. Por lo tanto, $A=uv^T$ para algunos vectores $u$$v$. Tenga en cuenta que para cualquier $n\ge1$, $$ A^n=\underbrace{(uv^T)(uv^T)\cdots(uv^T)}_{n \text{ momentos}} =u\underbrace{(v^Tu)}_{\text{escalar}}\cdots(v^Tu)v^T=(v^Tu)^{n-1}A. $$ En particular, $A^k=(v^Tu)^{k-1}A$$A^2=(v^Tu)A$. Ahora el resultado se sigue inmediatamente.
Prueba 2. Si $A^k=0$ algunos $k\ge2$, $A$ es singular. Deje $Ax=0$ algunos $x\ne0$. Extender $x$ a una $\{x,y\}$ de la base del espacio vectorial. Deje $Ay=px+qy$. Por inducción matemática, tenemos $A^ny=pq^{n-1}x + q^ny$ cualquier $n\ge1$. Ahora uso $A^k=0$ a argumentar que $q=0$. Por lo tanto $A^2x=A^2y=0$.
Una dirección es trivial, así que vamos a considerar a los otros.
Voy a dar algunos consejos hacia una solución.
Supongamos $A^k = 0$. Esto significa que $A$ satisface el polinomio $x^k$. ¿Qué dice esto acerca de la polinomio mínimo de la matriz? Lo que a su vez hace esto sobre el polinomio característico? Por último, considerar la Cayley-Hamilton teorema.
Una dirección es clara.
Supongamos $A^k = 0$ . Esto significa que el polinomio mínimo de a $A$, se $g(x)$, satisface $$g(x) \mid x^k$$ Thus $$g(x) = x^n \ \ \ n \leq k$$ But the minimal polynomial divides the characteristic polynomial, which has degree $2$, and so $n = 1$ or $n = 2$. In both cases $$A^2 = 0$$
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