Dominio al dividir expresión racional

Question

Estoy teniendo problema de la comprensión del proceso de definición de un dominio a la vez de intentar dividir expresiones racionales:

$$ \frac {x^2+x-6}{x^2+3x-10} : \frac {x+3}{x-5} $$

Podemos factor de forma

$$ \frac {(x+3)(x-2)}{(x+5)(x-2)} : \frac {(x+3)}{(x-5)} $$ En el libro de texto que me siga, me dijeron que la expresión no está definida para $\;x=-5,\; x=2,\; x=5\;$ y es igual a cero, cuando $\;x=-3.$

Pero cuando le doy la vuelta el divisor: $$ \frac {(x+3)(x-2)}{(x+5)(x-2)} \times \frac {(x-5)}{(x+3)} $$

Ahora $\;x\;$ no está definido para $\;x=-5,\; x=2,\; x=-3\;$ y es igual a cero cuando se $\;x=5.$

De acuerdo con el libro de texto, después de cancelar los factores comunes el resultado de la expresión es: (se puede omitir la $\;x=-5,\;$ como se puede deducir de la expresión) : $$ \frac {(x-5)}{(x+5)},\quad x\neq5,2,-3 $$

Mi problema con esto es que si le doy la vuelta el divisor antes de la definición de dominio, recibo el siguiente $$ \frac {(x+3)(x-2)(x-5)}{(x+5)(x-2)(x+3)}$$ Y ahora, me gustaría definir el dominio como: $$x\neq-5,2,-3 $$ Por lo tanto, el resultado final sería igual a: $$\frac {(x-5)}{(x+5)}, \quad x\neq-5,2,-3$$

Puede usted explicar cómo abordar apropiadamente, por favor?

Answer 1

Como Bill ha dicho en los comentarios esto es esencialmente una cuestión de definición. Cuando el concepto de la división es rigurosamente definido para las funciones en este sentido, es generalmente definido a multiplicar por el recíproco de la función. En este caso la expresión $$R(x)\div\frac{x+a}{x-b},$$ donde $R(x)$ es alguna función racional, es técnicamente sólo la abreviatura de $$R(x)\times\left(\frac{x+a}{x-b}\right)^{-1}=R(x)\times\frac{x-b}{x+a}.$$ Esto corresponde a su razonamiento de que el dominio de la expresión no incluye a $x=-a$ pero no incluye las $x=b$.

Su libro de texto parece ser más aproximación heurística, en la cual interpretamos $$R(x)\div \frac{x+a}{x-b}$$ para ser una nueva función, que para cualquier ingresado valor de $c$ toma el valor de $R(c)$ (ahora sólo un número) dividido por $\frac{c+a}{c-b}$ (otro número) a la salida. En este caso vemos que ahora el dominio de esta nueva función no puede incluir $b$, porque entonces vamos a estar tratando de dividir un número por $0$ (esto es de nuevo sólo la multiplicación por los recíprocos de los números, pero el problema es $0$ no tiene recíproca obviamente).

Básicamente se trata de si se puede considerar en primer lugar de multiplicar por el recíproco de la función racional para la construcción de su nueva función (y exactamente cómo se va a definir la inversa), o si usted definir su nueva función sólo por lo que sucede en la evaluación paso. De cualquier manera está bien en su configuración, por lo que me acaba de seguir las convenciones que su libro de texto y el profesor, pero también saben que su interpretación es perfectamente válido, y a menudo es la utilizada cuando se hace más avanzados de matemáticas.