Radio de convergencia de$\sum_{n=0}^{\infty}(2^n)x^{n^2}$

Question

El radio de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}2^nx^{n^2}$

Voy a utilizar la Raíz de la prueba, deje $c_n = 2^nx^{n^2}$

$\lim_{n\rightarrow \infty} c_{n}^{1/n} = \lim_{n\rightarrow \infty} 2x^{n} = 0 $ si $-1<x<1$ e $\pm \infty$ si $|x|>1$

Desde que desee $\lim_{n\rightarrow \infty} c_{n}^{1/n}<1$ para la convergencia como de acuerdo a la Raíz de la prueba, por lo que el radio de convergencia debe ser $1$. Es esto correcto?

Answer 1

Su razonamiento es correcto: sin embargo, usted puede calcular el radio de convergencia de la serie directamente, mediante la definición, es decir, para una determinada potencia de la serie $$ \sum_{m=1}^\infty c_m x^m \quad\text{ hemos }\quad \limsup_{m\to \infty}\sqrt[m]{|c_m|}=\frac{1}{R} $$ Pero si elige este camino, usted debe tener cuidado: precisamente, usted debe considerar los coeficientes de las potencias de $x$ que son diferentes de las $0$ y calcular la raíz y el respeto a la exponente de su energía asociada. Teniendo en cuenta su serie de este medio $$ c_m= \begin{cases} 2^n&\text{ if }m=n^2\\ 0 & \text{ otherwise} \end{casos} $$ Así $$ \begin{split} \frac{1}{R}&=\limsup_{m\to \infty}\sqrt[m]{|c_m|}=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n^2]{2^n}\\ &=\limsup_{n\to\infty}2^\frac{n}{n^2}=\limsup_{n\to\infty}2^\frac{1}{n}\\ &=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{2} =1 \end{split} \implica que R=1 $$