La integración de$\int_{-1} ^{1}\frac{1}{1+x^2}dx$ con la sustitución$x^2=t$ da un valor incorrecto de$0$. ¿Qué salió mal?

Question

Considere la posibilidad de esta integral.

$$\int_{-1} ^{1}\dfrac{1}{1+x^2}dx$$

Su fácil de resolver como $\tan ^{-1} x$ es la anti derivada de $\dfrac{1}{1+x^2}dx$ . Por lo tanto,

$$\int_{-1} ^{1}\dfrac{1}{1+x^2}dx \implies \left[\tan^{-1} x \right]_{-1} ^{1}$$

$$\implies \dfrac{\pi}{2}$$

Pero si hago esto

Deje $x^2=t$ lo $dx=\dfrac{dt}{2\sqrt{t}}$. Cuando $x=-1,t=1$ e al $x=1,t=1$. Por lo tanto,

$$\int_{-1} ^{1}\dfrac{1}{1+x^2}dx \implies \int_{1} ^{1}\dfrac{1}{2\sqrt t (1+t)}dt$$

Desde los límites superior e inferior son iguales por lo tanto la expresión se reduce a$0$. Sé que es incorrecto, pero no puedo averiguar mi error.

Answer 1

Gracias @Swapnil y @Matti P para señalarlo.

La verdad es que puede usar $x^2=t $ pero voy a tener que dividir la integración. Cuando $x=-1,t=1$ y cuando x<0 $dx=\dfrac{dt}{-2\sqrt{t}}$ e al $x=1,t=1$ y cuando x>0 $dx=\dfrac{dt}{2\sqrt{t}}$.

$$\int_{-1} ^{1}\dfrac{1}{1+x^2}dx \implies \int_{1} ^{0}\dfrac{1}{-2\sqrt t (1+t)}dt + \int_{0} ^{1}\dfrac{1}{2\sqrt t (1+t)}dt$$

$$\implies 2\int_{0} ^{1}\dfrac{1}{2\sqrt t (1+t)}dt $$

Esto después de cierta sustitución parece que va a ser $\dfrac{\pi}{2}$ así

Answer 2

$x^2=t$ no quiere decir $dx=\dfrac{dt}{2\sqrt{t}}$.

$x^2=t \implies x=\pm\sqrt{t}$

Por lo $dx = \pm \dfrac{dt}{2\sqrt{t}}$ y al mejor de mi conocimiento, no se puede utilizar este para la integración.

EDIT: OK, como se sugiere en el OP (Loop) en su respuesta, sí podemos determinar si $x^2=t \implies x=\sqrt{t}$ o $x=-\sqrt{t}$ mediante la división de la integral y usando el valor apropiado.