Si todas las raíces de un polinomio en$\mathbb{Q}[x]$ son enteros, entonces el polinomio está en$\mathbb{Z}[x]$

Question

Probar que si todas las raíces de un polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ son enteros, entonces el polinomio es de $\mathbb{Z}[x]$

Esfuerzos:

Deje $p(x)=a_0+a_1x +\dots a_nx^n$ ser un polinomio en $Q[x]$

Nos da ese $p(x)$ tiene todas las raíces en $Z$ lo $$p(x)=(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)\dots (x-b_n).$$

La expansión de ella se obtiene $p(x)=x^n-(\sum b_i )x^{n-1}+(\sum b_ib_j)x^{n-2}+\dots (-1)^nb_1\dots b_n$

Comparando el coeficiente hemos $a_n=1$, $a_{n-1}=-\sum b_i, \dots, a_0=(-1)^n b_1b_2\dots b_n$ y así sucesivamente.

Desde $b_i$ son enteros, por lo que el producto. Por lo tanto hemos terminado.

Es la prueba de la correcta?

Gracias por leer y ayudar!

Answer 1

Si el polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ es monic, o más generalmente, si su líder coeficiente es un número entero, entonces la afirmación es correcta. Tenga en cuenta que, en la prueba de la factorización de $p$ debe ser $$p(x)=a_n(x-b_1)\dots(x-b_n).$$

Por otra parte tenemos a contraejemplos: tomar un monic polinomio con todas las raíces en $\mathbb{Z}$ y se divide por un número entero mayor que $1$.