Pregunta Recursiva en AMC 2009 (12A)

Question

Los dos primeros términos de una sucesión se $a_1 = 1$ e $a_2 = \frac {1}{\sqrt3}$. Para $n\ge1$, $$a_{n + 2} = \frac {a_n + a_{n + 1}}{1 - a_na_{n + 1}}.$$

¿Qué es $|a_{2009}|$?

La solución más simple para esta pregunta era sólo el trabajo de la secuencia y que se repite con un período de 24. Sin embargo, no creo que mucha gente estaría de trabajo a muchos de los términos, simplemente para ver si hay un ciclo de repetición

¿Alguien sabe si hay alguna manera de saber si una secuencia recursiva será cíclico con sólo mirar la ecuación?

Answer 1

Si hacemos la sustitución de $a_n = \tan \theta_n$, donde podemos restringir $0 \le \theta_n < \pi$, luego tenemos a $\theta_1 = \dfrac{\pi}{4}$, $\theta_2 = \dfrac{\pi}{6}$, y $$\tan \theta_{n+2} = \dfrac{\tan \theta_n + \tan \theta_{n+1}}{1-\tan\theta_n\tan\theta_{n+1}} = \tan(\theta_n+\theta_{n+1}),$$ i.e. $$\theta_{n+2} \equiv \theta_n + \theta_{n+1} \pmod{\pi}.$$ It shouldn't take too much more work to show that $\theta_n$ is periodic. Regardless, it is probably easier to compute the first several terms of $\theta_n$ and see a pattern than it is to compute the first several terms of $a_n$ directamente y ver el patrón.

EDIT: Si sustituimos $b_n = \dfrac{12}{\pi}\theta_n$, luego tenemos a $b_1 = 3$, $b_2 = 2$, e $$b_{n+2} \equiv b_n + b_{n+1} \pmod{12}.$$ Ahora es muy fácil ver que este debe ser periódica.