Hay no Aleph transfinito cardenales sin el axioma de elección?

Question

No puedo encontrar nada en este lugar. El libro que estoy en gran parte usando en el momento en que está basado alrededor de ZFC, por lo que no hace mención de otra cosa que el Aleph de números, sino de acuerdo a Wikipedia sobre el Cardinal de los Números de página, si usted no está usando el axioma de elección no Aleph.

No me gusta poner demasiado stock en Wikipedia, pero por lo general suele ser bastante decente para las Matemáticas, de modo que parece que vale la pena hacer. Tengo un libro en la ingenuidad de la Teoría de conjuntos, pero no parece decir nada fuera de el Aleph de números. Originalmente pensé que estaba hablando de la hipótesis continua, pero que no parece ser el caso, y google sólo trae el Aleph números de lo que yo trate de buscar nada, porque todo se basa en los axiomas de ZFC, por lo que cualquier posibilidad de que alguien pudiera arrojar alguna luz sobre esto con un ejemplo, o tiene un link o algo?

Answer 1

El $\aleph$-los números son cardinalidades que puede ser bien ordenado. Puesto que cada conjunto ordenado puede ser identificado con un ordinal, cada una de las $\aleph$-número de la cardinalidad de algunos ordinal. Si consideramos que al menos ordinal de esta cardinalidad vamos a tener un primer ordinal (es decir, un ordinal que no puede ser bijected con cualquier ordinal estrictamente menor que sí mismo).

El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que todo conjunto puede ser bien ordenado, por lo tanto cada cardinalidad infinita es una $\aleph$-número.

Supongamos que el axioma de elección no se sostiene, entonces tenemos algunos conjuntos que no puede ser bien ordenado. Cardinalidades que no puede ser bien ordenado no puede ser $\aleph$-números.

Esto se pone peor. Es coherente que cada conjunto linealmente ordenado, y el axioma de elección sigue sin funcionar. Incluso es coherente que existe un conjunto que no puede ser linealmente ordenado a todos (un amorfo conjunto no puede ser linealmente ordenado, por ejemplo). En Thomas Jech del libro El Axioma de Elección tiene un capítulo sobre el cardenal aritmética sin elección. Se muestra cómo el salvaje el universo de ZF puede ser con respecto a los cardenales, cuando el axioma de elección es ausente.

Un par de ejemplos:

1. Es coherente que no hay "canónica" representante de las cardinalidades. Cuando el axioma de elección es ausente, estamos reducidos para definir cardinalidades como equivalente clases en la relación de los "existe un bijection", mediante el uso de Scott truco tenemos que este es un bien definida de la relación. Mientras que el axioma de elección nos permite elegir un representante de cada clase de equivalencia (es decir, inicial ordinales) que es coherente que sin el axioma de elección no hay manera de elegir como representante de todas las cardinalidades a la vez. (es decir, no es definible función que devuelve exactamente un elemento de cada uno de cardinalidad)

2. Podemos tener para todos los conjuntos infinitos $|\{0,1\}\times A|=|A|$, pero el axioma de elección todavía no se sostiene (esto en contraste a $|A|\times|A| = |A|$ por cada infinitas $A$ implica elección)

3. La hipótesis continua es independiente de la elección, que es que hay un modelo en el que el axioma de elección no se sostiene, y no hay conjuntos de cardinalidad estrictamente entre el$\aleph_0$$2^{\aleph_0}$.

Estos son sólo ejemplos para mostrar cómo los cardenales pueden comportarse como un grupo de adolescentes sin supervisión en una casa llena de alcohol.