Una fórmula ingenua y fácil de calcular el poder de convolución.

Question

En matemáticas (en particular, el análisis funcional) de convolución es una operación matemática en dos funciones ($f$ e $g$) para producir una tercera función que expresa cómo la forma de uno es modificada por el otro. La convolución de la función de dos $f, \ g$ se define de la siguiente manera

$$(f*g)(t)\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau$$

Y discretos caso de la convolución de $f,g$ está dado por

$$(f*g)[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}f[n-m]g[m].$$

En caso de $f=g$ la convolución de alimentación de $f^{*2}$ teniendo lugar. La convolución de energía de función de $x$ es la n-veces iteración de la convolución con la misma. Por lo tanto si $x$ es una función en el espacio Euclidiano $R^d$ e $n$ es un número natural, entonces la convolución de potencia se define por $$x^{*n}=\underbrace{x*x*\cdots*x}_{n \ \mathrm{times}}.$$ Assume we have the real function $f$, for example, let be the power function $f=x^k$ where $k$ is natural. Is there a generzlized reccurence formula (i.e by power rule $f^{*n}=f*f^{n-1}$ represent the $n$-th power convolution via $n-1$-th convolution for every $n\geq 0$) for calculation both discrete and infinitesimal $n$-th convolution power of $f$ ?

Answer 1

De forma más explícita fórmula puede ser dada por la transformada de Fourier. Vamos a empezar desde el caso continuo. Asumiendo $f\in L^1(\mathbb{R})$ (de lo contrario $f\star f$ puede incluso no estar definida), entonces tenemos $$\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ix\xi}\,dx \qquad \xi \in \mathbb{R}$$ Entonces es bien sabido que la transformada de Fourier se convierte en el producto de convolución, por lo que si $f,g\in L^1$ luego $$\widehat{f\star g}=\hat{f}\cdot \hat{g}\Rightarrow f\star g=\mathcal{F}^{-1}(\hat{f}\cdot \hat{g}) $$ Donde $\mathcal{F}^{-1}$ denota la inversa de la transformada de Fourier. En particular, para $f\in L^1$ hemos $$f^{*n}(x)=\mathcal{F}^{-1}(\hat{f}^n)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(\xi)^ne^{ix\xi}\,d\xi \qquad x\in \mathbb{R}$$ y esta es una fórmula explícita, a condición de que usted puede calcular dos integrales.

En el caso discreto todo lo que todavía funciona, excepto la transformada de Fourier de una función $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ con $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|f(n)|<\infty$ es en este caso su serie de Fourier de expansión $$\hat{f}(\theta)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)e^{in\theta}\qquad \theta \in [0,2\pi] $$ y a la inversa, es la expresión de los coeficientes de Fourier, por lo que $$f^{*n}(m)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\hat{f}(\vartheta)^ne^{-im\vartheta}\,d\vartheta\qquad m\in \mathbb{Z} $$