Interacción hidrodinámica entre dos esferas en el flujo de$Re=0$

Question

Estoy estudiando la interacción entre dos partículas esféricas de radio $a$ cero el número de Reynolds del flujo. Debido a la linealidad, sé que sus respectivas velocidades es lineal en las fuerzas aplicadas a ellos. Del mismo modo, la fuerza de $\boldsymbol{F}_j$ aplicado sobre una partícula que contribuye a la velocidad de la $\boldsymbol{v}_i$ de los otros a través de un término que es lineal en $\boldsymbol{F}_j$. Escribo esto como sigue

$$\boldsymbol{v}_1=(6\pi a)^{-1}\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{H}\left(r_{12}\right)\cdot\boldsymbol{F}_{2}$$ $$\boldsymbol{v}_2=(6\pi a)^{-1}\boldsymbol{F}_{2}+\boldsymbol{H}\left(r_{21}\right)\cdot\boldsymbol{F}_{1}$$

donde $H$ es la hidrodinámica de la interacción del tensor que depende de las posiciones relativas $\boldsymbol{r}_{ij}$ de las dos esferas ($i=1,2$).

Aquí está mi pregunta: si yo quería ver el límite de campo lejano, en principio supongo que la $a\ll r_{ij}$ y mira lo que sucede con las ecuaciones. Esto se puede hacer formalmente por nondimensionalising con respecto a la distancia típica $\ell$ tal que $r_{ij}\sim \ell$, definir $$\epsilon=\frac{a}{\ell}$$ and take the limit $\epsilon\rightarrow 0$. However, this seems to present problems, because the friction terms are proportional to $^{-1}$, por lo que divergen en dicha expansión. Lo que me estoy perdiendo? Si la divergencia es, de hecho, físicamente relevante, cuál es su significado? ¿Cómo se puede tratar con él con el fin de estudiar el límite de campo lejano?

Answer 1

Cuando la distancia entre las esferas es grande en comparación con su tamaño, la velocidad de cada esfera es predominantemente determinado por el equilibrio entre la fuerza de arrastre y la fuerza externa que actúa sobre él, y la inter-esfera de interacción de la fuerza es insignificante. Es por eso que la fuerza externa término es "volar" en relación a la interacción de la fuerza al $\epsilon\to 0$, y si el no dimensionalization se realiza correctamente, a continuación, la fuerza de arrastre término también vuela a la misma velocidad que la fuerza externa plazo (por lo que hay equilibrio entre los dos como $\epsilon\to0$). Equivalente (y tal vez menos repugnante) manera de decirlo es que la interacción de la fuerza se está convirtiendo insignificante en relación a las otras dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Matemáticamente, esto significa que al líder de la orden en $\epsilon$ la velocidad de cada esfera está determinado por el equilibrio entre la fuerza de arrastre y la fuerza externa, y entre la esfera de la interacción aparece sólo en el orden superior.