Demuestre que el límite no existe (dos variables)

Question

Acabo de empezar a investigar el cálculo de variables múltiples y los límites que las involucran. Tampoco soy increíble en los límites.

Quiero responder a esta pregunta:

Demuestre que el siguiente límite no existe

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$$

Así que, mi trabajo:

$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}=\lim_{x\to 0}\frac{0}{y^2}=0$$

y

$$\lim_{y\to 0}\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}=\lim_{y\to 0}\frac{0}{x^2}=0$$

No estaba seguro de qué hacer después de esto, ya que ambos son 0, pero utilizando el hecho de que puede acercarse desde cualquier dirección, traté de sustituir $y=x$ No estoy seguro de que eso sea correcto, o de que sea mi trabajo.

Por lo tanto, dejemos que $y=x$ entonces

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2x^2+(x-y)^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+(x-x)^2}=1$$

Por lo tanto, el límite no existe.

¿Es esto algo correcto? ¿Cuál es la mejor manera de responder a una pregunta como ésta?

Además, al mostrar que este límite no existe, ¿necesito encontrar diferentes valores de límites para ambos ${x\to 0}$ Y ${y\to 0}$ ? ¿O es suficiente, por ejemplo, si sólo encuentro dos valores diferentes para dos límites para ${x\to 0}$ sin usar ${y\to 0}$ en mi cálculo en absoluto, ¿está bien?

Gracias.

Answer 1

Lo que has hecho es correcto. El límite existe sólo si el valor del límite a lo largo de cada dirección que lleva a $(0,0)$ es el mismo.

Así que cuando se calcula $$\lim_{x\to 0}\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$$ estás calculando el límite a lo largo de la línea $x=0$ .

De la misma manera,
$$\lim_{y\to 0}\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$$ es el límite a lo largo de la línea $y=0$ .

Y el último límite que has calculado está en la línea $y=x$ .

Así que para responder a su pregunta, sí que habría sido perfectamente aceptable si usted no calculó límite a lo largo de $y=0$ . Basta con mostrar dos ejemplos en los que el límite resulta ser diferente en distintas direcciones para demostrar que el límite no existe.

Answer 2

Tu razonamiento está bien. Si el límite existiera, obtendrías el mismo valor para cada límite direccional, lo que no es el caso.

Answer 3

Hiciste bien.

Una posible mejora es calcular el límite a lo largo de una línea arbitraria: a lo largo de $y=mx$ hay que calcular $$\lim_{x\to0}\frac{x^2(mx)^2}{x^2(mx)^2+(x-mx)^2}= \lim_{x\to0}\frac{m^2x^4}{m^2x^4+x^2(1-m)^2}= \lim_{x\to0}\frac{m^2}{m^2+(1-m)^2x^{-2}}= \begin{cases} 0 & m\ne 1 \\[4px] 1 & m=1 \end{cases}$$ Haciendo esto puede mostrar inmediatamente cómo resolver el negocio. Por supuesto, si encuentras que todos los límites a lo largo de las líneas son iguales, no puedes concluir que el límite existe; en cambio, debes probar a lo largo de otras curvas, si sospechas que el límite no existe.

Answer 4

Lo que has hecho es correcto, pero ten en cuenta que después de demostrar que el límite es $0$ cuando se toma $y=0$ El hecho de que también sea $0$ cuando se toma $x=0$ es irrelevante. Lo que importa aquí es que ir a $(0,0)$ a través de dos direcciones diferentes le lleva a dos límites distintos. Por lo tanto, no existe un límite (global) en $(0,0)$ .

Answer 5

Lo que has hecho es completamente correcto, pero quizás puedas suavizarlo un poco de la siguiente manera:

Para $\;x=0\;,\;\;y\to0\;$ el límite es claramente $\;0\;$ mientras que para $\;x=y\;$ y $\;x\to0\;$ obtenemos

$$\frac{x^4}{x^4+(x-x)^2}=1\xrightarrow[x=y\to0]{}1$$

Por lo tanto, el límite depende del camino elegido $\;\implies\;$ el límite no existe... y este es el argumento relevante: recorriendo diferentes caminos se obtienen diferentes límites.