Viendo un círculo desde diferentes ángulos, ¿el resultado es siempre una elipse?

Question

Toma un trozo de cartón rígido. Dibujar un círculo perfecto. Que la sostenga, y tomar una foto, con el cartón a cabo de forma perpendicular a la dirección en que estamos buscando. Consigue una foto que se parece a esto:

Aviso: se ve como un círculo perfecto en la fotografía.

Ahora la inclinación de la cartulina para el derecho, o la inclinación de vuelta, así que ya no estamos viendo de frente:

 

Observe que en la fotografía de la tinta negra tiene la forma de una elipse ahora, en lugar de un círculo.

Lo que si nos inclina a la derecha y, a continuación, inclínelo hacia atrás?

Visualmente, todavía se ve como una elipse a mí. Es?

Conjetura. La forma del negro en la fotografía siempre será una elipse perfecta, no importa lo que la orientación de la caja de cartón se celebra en.

Es esta conjetura verdadera? Podemos demostrarlo?

Creo que puedo probar que es verdadera si el cartón es inclinada a la izquierda/derecha o delante/atrás. Sin embargo, yo no puedo ver cómo probar una combinación de estas dos operaciones.

Si no a pensar acerca de cómo funcionan las cámaras, se puede pensar en el problema como este: Estamos frente a una pared (que es perpendicular a la dirección en que estamos buscando). Tenemos el cartón delante de nosotros en la orientación alguna. A continuación, tenemos el proyecto de cada mancha de tinta negra en la pared detrás de nosotros, mediante el trazado de una línea de nuestros ojos a la mancha de tinta y continuando hasta que golpea la pared, para luego dibujar un punto en la pared. Considerar el lugar geométrico de los puntos en la pared obtenido de esta manera. ¿Qué forma hace este lugar? Es siempre una elipse?

O, si se prefiere: sostener una moneda en una habitación oscura. Ilumine con una linterna hacia la moneda. ¿Cuál es la forma de la sombra en la pared? Es siempre una elipse, no importa cuál es la orientación que tenemos la moneda?

Answer 1

Esto es bastante estándar, un resultado en la visión por ordenador y de la geometría proyectiva: la imagen de cualquier cónica bajo una perspectiva de transformación es otra de las cónicas. Si la imagen de un círculo es una curva cerrada, entonces debe de ser una elipse. Aretino ofrece un ambiente encantador de estilo clásico inspirado en la prueba de su caso particular en esta respuesta a un muy estrechamente relacionadas con la cuestión. Voy a ofrecer una construcción que utiliza la maquinaria es más probable que se vea en el ordenador de la visión de la literatura. Está relacionado con el argumento que presento en mi respuesta a la misma pregunta que la intersección de cualquier quadric surface con un plano es algún tipo de cónica.

Sin entrar en los detalles de la construcción, que se puede encontrar en cualquier norma de referencia, la proyección de perspectiva en su pregunta puede ser representado por un completo rango de $3\times 4$ matriz $\mathtt P$: Si $\mathbf X$ es la homogeneidad de las coordenadas del vector de un punto en la escena, la homogeneidad de las coordenadas del punto correspondiente en la imagen se $\mathtt P\mathbf X$. Nos imponen un sistema de coordenadas en el plano de la cónica a través de un $4\times 3$ matriz $\mathtt M$ que asigna las coordenadas homogéneas $\mathbf x$ de un punto en el plano, el mundo de punto de $\mathtt M\mathbf x$. Esta fuente de plano y el plano de la imagen se relacionan por la homografía (planas proyectivas de transformación) $\mathtt H=\mathtt{PM}$. Si la cámara no se encuentran en el origen del plano, a continuación, $\mathtt H$ es invertible. (De lo contrario, estamos viendo el borde del papel, y todo se derrumba a un segmento de línea.)

Si tenemos una cónica en el plano fuente dada por la ecuación $\mathbf x^T\mathtt C\mathbf x=0$, su imagen es la cónica definida por la matriz de $\mathtt H^{-T}\mathtt C\mathtt H^{-1}$, que puede ser verificada por sustitución directa. ¿Qué tipo de cónica es que, a pesar de que? Bueno, no degenerada cónicas se pueden distinguir por el número de sus intersecciones con la línea en el infinito. La línea en el infinito en la imagen es la imagen bajo $\mathtt P$ de la cámara principal del plano: el plano normal a la cámara del eje sobre el que la cámara se encuentra. Por lo tanto, si el círculo original no cruzan el principal avión, su imagen es una elipse; si se cruza en un punto (es tangente al plano), es una parábola; y si el director plano corta el círculo, su imagen es hiperbólica. Una cosa similar ocurre con el haz de su linterna: a medida que la inclinación de la linterna más y más, finalmente, obtener una parábola y después de que un lóbulo de una hipérbola.

También es posible trabajar directamente en coordenadas del mundo para demostrar que la imagen es una elipse. Parametrizar el círculo de la $\mathbf c+\mathbf u\cos t+\mathbf v\sin t$, $\|\mathbf u\|=\|\mathbf v\|$ el radio del círculo y $\mathbf u\perp\mathbf v$. Su proyección sobre el plano de la imagen va a terminar siendo de la forma $\mathbf c'+\mathbf u'\cos t+\mathbf v'\sin t$. A continuación, muestran que bajo las condiciones de tu pregunta esta paramétricas de la curva es una elipse.

Answer 2

La respuesta es sí: la intersección de una barra circular de cono con un plano de intersección de todas las generatrices es siempre una elipse. Esto fue demostrado por Apolonio de Perge en su tratado sobre las secciones cónicas, alrededor de 200.b.C.

Escribí aquí una (ligeramente modernizada) versión de su prueba, en el caso simple cuando una base de diámetro, en forma perpendicular a la intersección entre el plano y la base del cono, las formas con el vértice de un plano perpendicular a la base.