¿Cómo probar que agregar$n$ al numerador y al denominador moverá la fracción resultante cerca de$1$?

Question

Dada una fracción:

$$\frac{a}{b}$$

Añado ahora un número de $n$ tanto para el numerador y el denominador de la siguiente manera:

$$\frac{a+n}{b+n}$$

La propiedad básica es que la segunda fracción se supone que es más cercano a 1 que la primera. Mi pregunta es ¿cómo podemos demostrar que?

Lo que he intentado:

Sé $\frac{n}{n} = 1$ así que ahora la adición de números de $a$ e $b$ es en realidad "move it" de $1$. Pero no puedo entender por qué $\frac{a}{b}$ es en realidad más lejos de 1 de $\frac{a+n}{b+n}$.

¿Por qué es eso? ¿Qué significa para agregar un número a, tanto en el numerador y el denominador?

Answer 1

Hay una manera muy simple de ver esto. Acaba de tomar la diferencia entre las dos fracciones y 1. Quiere mostrar que este es más pequeño en el módulo para la segunda fracción.

Consigue $$ \frac{a}{b} - 1 = \frac{a-b}{b} $$y $$ \frac{a+n}{b+n} -1 = \frac{a-b}{b+n} $$

Así que el segundo es más pequeño en el módulo (siempre $b$ e $n$ son positivos, aunque supongo que también funciona si ambos son negativos), ya que tiene el mismo numerador y el más grande (módulo) denominador, QED.

Answer 2

Visualmente: Considerar la pendiente del segmento de la línea de $(0, 0)$ a $(a+n, b+n$):

Matemáticamente (asumiendo $a, b, n > 0$): La distancia $$ \left| \frac {a+n}{b+n} - 1\right| = \frac{|a-b|a}{b+n} $$ es la disminución en el $n$ (y se aproxima a cero para $n \to \infty$).

Answer 3

Usted debe comenzar a pensar acerca de los casos en particular. Por ejemplo, $\dfrac{3+2}{7+2}=\dfrac59$, que es más cercana a $1$ que $\dfrac37$.

De todos modos, tenga en cuenta que, si $a<b$ (y, en consecuencia, $a+n<b+n$, para que $\frac ab<1$ e $\frac{a+n}{b+n} < 1$), a continuación,$$\frac{a+n}{b+n}-\frac ab=\frac{(a+n)b-a(b+n)}{(b+n)b}=\frac{n(b-a)}{(b+n)b}>0$$ Esta muestra $\frac{a+n}{b+n}-\frac ab>0$, y ya sabemos que ambos son $<1$, así: $$\frac ab<\frac{a+n}{b+n}<1.$$So, yes, $\dfrac{a+n}{b+n}$ is closer to $1$ than $\dfrac ab$.

Se puede tratar con el caso de $a>b$ ahora?

Answer 4

Si $b$ e $d$ tienen el mismo signo, tanto $$ \frac ab-\frac{a+c}{b+d}=\frac1b\frac{ad-bc}{b+d}\tag1 $$ y $$ \frac{a+c}{b+d}-\frac cd=\frac1d\frac{ad-bc}{b+d}\tag2 $$ también tienen el mismo signo. Por lo tanto, $$ \frac{a+c}{b+d}\text{ es entre los }\frac ab\text{ y }\frac cd\tag3 $$ Por lo tanto, si $bn\gt0$, $$ \frac{a+n}{b+n}\text{ es entre los }\frac ab\text{ y }\frac nn=1\tag4 $$

Answer 5

Bueno, $\frac{a+n}{b+n} = \frac{\frac{a}{n}+1}{\frac{b}{n}+1}$ . Entonces, si $n\rightarrow \infty$ , entonces $\frac{a}{n}\rightarrow 0$ y $\frac{b}{n}\rightarrow 0$ . Por lo tanto $\frac{a+n}{b+n}\rightarrow 1$ .

Como se dijo en los comentarios, la respuesta es incorrecta en el sentido de que no aborda con precisión lo que pregunta el OP, sino que da cierta intuición de por qué es cierto.