¿Hay alguna diferencia entre los tensores y las matrices multidimensionales?

Question

Veo muchas referencias que dicen cosas como

Un tensor es una matriz multidimensional o de N vías

Pero otros que dicen cosas como

Hay que señalar que en la física se dan otras entidades matemáticas que, como los tensores, suelen consistir en matrices multidimensionales de números, o funciones, pero que NO son tensores. Lo más destacable son los objetos llamados espinores.

¿Son intercambiables los términos "tensor" y "matriz multidimensional"? ¿O es más bien "todos los cuadrados son rectángulos pero no todos los rectángulos son cuadrados"?

Answer 1

Tensor : Matriz multidimensional :: Transformación lineal : Matriz.

En resumen, los tensores y las matrices multidimensionales son diferentes tipos de objetos; el primero es un tipo de función el segundo es un estructura de datos adecuado para representar un tensor en un sistema de coordenadas.

En el sentido que preguntas, los matemáticos suelen definir un "tensor" como una función multilineal: una función de varias variables vectoriales que es "lineal en cada variable por separado". Un "campo tensorial" es una "función tensorial".

Más detalladamente, si $M$ es una variedad suave, hay un haz tangente $TM$ , a haz de cotangentes $T^{*}M$ y los "haces tensoriales" que se obtienen tomando productos tensoriales de estos haces. A campo tensorial en $M$ es una sección de un haz tensorial. (Las respuestas a las preguntas pregunta enlazados por John Mangual dan cuerpo a los detalles).

Los físicos llaman a los campos tensoriales "tensores". Yo utilizaré (seguiré) el lenguaje matemático.

En un gráfico de coordenadas (es decir, un trozo de $M$ difeomorfo a un conjunto abierto en un espacio euclidiano, junto con un sistema de coordenadas), los haces tangentes y cotangentes se trivializan mediante vectores de coordenadas y coordenadas $1$ -y un campo tensorial se representa como una matriz multidimensional de funciones.

Las "reglas de transformación" para las matrices multidimensionales equivalen a la regla de la cadena para los campos vectoriales y $1$ -es decir, a las funciones de transición de los tensores correspondientes a los cambios de coordenadas en $M$ .

Answer 2

Es útil pensar como un informático aquí...

a tensor es un tipo de matriz multidimensional con ciertas propiedades de transformación

Así que si escribimos la especificación para array sólo tenemos que especificar la colección de números.

array(N1, N2, N3)

Si especificamos tensor, tenemos que especificar cómo se "transforma" esta matriz bajo ciertas operaciones matriciales.

Un espinor será un tensor con un acción de grupo además de las otras reglas de transformación. En particular, un $SU(2)$ acción de grupo.

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Esto ya ocurre en el álgebra lineal. Tomemos la función $T: (1,0) \mapsto (1,1), (0,1) \mapsto (1,-1)$ . Podemos escribir esto como un $2 \times 2$ matriz:

$$\left[ \begin{array}{cr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$$

Estas matrices tienen valores propios y vectores propios. Tenemos que resolver la ecuación:

$$ \lambda^2 + 2 = 0$$

Obtenemos vectores propios de $\lambda = \pm \sqrt{2}$ . Los vectores propios son $(1 \pm \sqrt{2}, 1) $ y la forma diagonal es:

$$\left[ \begin{array}{cr} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} \end{array}\right]$$

¡El mismo objeto geométrico una "transformación lineal" puede ser una de dos matrices diferentes dependiendo de la base que elijamos!

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En la geometría diferencial podemos considerar el tensor métrico :

$$ dz^2 = dx^2 + dy^2 $$

Si cambiamos a coordenadas polares: $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ . Entonces $dx = -r \sin \theta \, d\theta + \cos \theta \, dr$ y $dy = r \cos \theta \, d\theta + \sin \theta \, dr$ . Entonces

\begin {eqnarray*} dz^2 &=& (-r \sin \theta \, d \theta + \cos \theta \N, dr)^2 + ( r \cos \theta \, d \theta + \sin \theta \N, dr)^2 \\ &=& (r d \theta )^2 + dr^2 \end {eqnarray*}

No debería importar si calculamos la longitud de arco en coordenadas polares o cartesianas, debería dar la misma respuesta.

Answer 3

El tensor no es simplemente una matriz multidimensional. El tensor es "algo" que puede ser representado como un array multidimensional. Y esta representación debe depender de alguna manera muy específica de donde se está mirando este "algo".

Tomemos por ejemplo la velocidad de un objeto. Puede ser representada por tres números, o una matriz multidimensional (1 x 3). Pero lo que son los números en esta matriz depende de su sistema de referencia. En un sistema de referencia estos números son (100, 0, 0). En otro sistema de referencia los números correspondientes a la velocidad de este mismo objeto en este mismo momento pueden ser absolutamente diferentes. Digamos (60, 0, -80). La velocidad es un ejemplo de tensor, por cierto.

Son las reglas de cambio de representación al pasar de un sistema de referencia a otro las que hacen de la matriz multidimensional un tensor. Puedo poner varios de mis números favoritos en un array - pero eso no será un tensor.

Otro ejemplo de "no tensor" serían los "símbolos de Christoffel". Estos símbolos se utilizan en geometría y física para describir la curvatura del espacio. También están representados por matrices multidimensionales de números, hay algunas reglas naturales de cómo se cambian estos números cuando se pasa de un sistema de referencia a otro, pero estas reglas son diferentes de las del tensor. Así que los símbolos de Christoffel no son un tensor.

Answer 4

Que yo sepa, el tensor es un término matemático que representa datos multivariantes que constan de más de 2 dimensiones (el escalador es el valor de 0 dimensiones, el vector es de una dimensión y la matriz es de dos dimensiones). Mientras que el matriz es el aplicación informática de estos valores. Por ejemplo, en R, en Python y en Java, et al. tanto los vectores como las matrices y los tensores se implementan por defecto como unas estructuras de datos denominadas arrays.