Pregunta de tarea sobre convergencia usando la métrica p-adic.

Question

Soy auto a enseñar a mí mismo acerca de la métrica de espacios (oficialmente un estudiante de física), y han llegado a través de la siguiente pregunta:

Se me pide que muestran que la secuencia 215, 2015, 20015, 200015... converge en el 2-ádico métrica en $\mathbb{Z}$.

Ahora el p-ádico métrica es la inducida por el p-ádico norma $||n||=p^{-k}$ donde $k$ es el más alto poder de la prime $p$ que divide $n$ (de cualquier motivación de por qué esto podría ser una medida útil también sería apreciado...)

Ahora bien, si he de elegir un entero impar $x=2m+1<215$, y dejar que los términos de la secuencia anterior se $x_n$, entonces claramente $x_n-x$ es divisible por 2 para todos los $n$, y el 2-ádico norma de $||x_n-x||$ tiende a 0 para esta secuencia. Para cualquier x satisface la condición para la convergencia de los límite s de esta serie, lo que significa que la serie converge para cualquier entero impar <215 en $\mathbb{Z}$? Anuncio todavía no he visto a un general de la prueba de que la convergencia es el límite de una secuencia bajo cualquier métrica es único!

Nota: Esta pregunta ha sido editado por lo que algunos de los comentarios iniciales ya no se aplican.

Answer 1

No sé mucho acerca de la métrica p-adic, pero ¿esta secuencia no converge a$15$?

Es decir, si$a_n$ denota el número$20\ldots 015$, con$n$ ceros, entonces$a_n-15= 2\cdot 10^{n+2}= 2^{n+3} 5^{n+2}$, entonces$\|a_n-15\|=2^{-n-3}$.

Answer 2

Como la otra respuesta ya da una prueba de por qué $x_n$ converge a $15$, acabo de dirección de tu otra pregunta. Escribir

Ahora bien, si he de elegir un entero impar $x=2m+1<215$, y dejar que los términos de la secuencia anterior se $x_n$, entonces claramente $x_n-x$ es divisible por 2 para todos los $n$,

Este es correcta (y, por cierto, sería cierta para cualquier entero impar $x$; no veo por qué usted piensa que la restricción $<215$ lo haría de ser necesario).

y el 2-ádico norma de $||x_n-x||$ tiende a 0 para esta secuencia.

Esto no es correcto, a menos que $x$ es de 15. El $2$-ádico norma de $x_n-x$, para un entero impar $x$, está dada por $2^{-r}$ si $2^r$ es el más alto poder de $2$ que se divide $x_n-x$. Ahora usted puede probar en algunos de los ejemplos (uso $x=17, 19, 39$) como en estos casos, el $2$-ádico norma de $x_n-x$ va a 1/2, 1/4, 1/8, respectivamente. Y luego, una buena práctica para estudios de $p$-adics, pensar acerca de por qué me eligió a los ejemplos (sugerencia: para estos x, ¿cuál es su $2$-ádico distancia de 15?)