valor límite

Question

Empíricamente se parece

$$\lim_{k\to \infty} \frac{1}{k}\sum_{n=1}^k \frac{g(n)}{\log p(n)} = 1\tag{1} $$ in which p(n) is the nth prime and g(n) is the prime gap $p(n+1)-p(n).$

Cramer conjeturó que

$$g(n) = O\left(\log^2 p(n)\right). $$

A mi algo pregunta abierta es:

Formalmente cómo se hace (1) se refieren a Cramer estimación (en todo caso)...y podemos demostrar (1)?

Por ejemplo, podemos tener un número infinito de valores de $\frac{g(n)}{\log p(n)}$ cerca de $0$ para el primer lagunas de $2$.

Así que, claramente, $(1) \nrightarrow g(n) \sim \log p(n).$ Pero podemos decir que para el general$f(n), g(n)$, por ejemplo, que

$$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \frac{f(n)}{g(n)} = 1 \rightarrow f(n) = O(g(n))? $$

Yo preferiría que la pregunta debe interpretarse en sentido amplio en el caso de que me he perdido algo acerca de cómo estas dos ideas se relacionan. Gracias por cualquier perspectiva.

Answer 1

Esto es cierto, pero no hace uso de ninguna de las propiedades de primer brechas más profundas que el teorema de los números primos.

Reclamación Vamos $2=p_1$, $p_2$, $p_3$, ... será cada vez más una secuencia de de enteros positivos con $p_{n+1} < 2 p_n$. Entonces $$\lim_{k \to \infty} \frac{\sum_{n=1}^k \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}}{\int_{t=2}^{p_{k+1}} \frac{dt}{\log t}} = 1.$$

Para los números primos, la condición de $p(n+1) < 2 p(n)$ es el postulado de Bertrand. Por lo que esto implica que su límite $$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \int_{t=2}^{p(k+1)} \frac{dt}{\log t} = \lim_{p \to \infty} \frac{1}{\pi(p)-1} \int_{t=2}^{p} \frac{dt}{\log t}.$$ Por el teorema de los números primos, este límite es $1$.

Por lo tanto, vamos a probar el reclamo. La función de $1/\log t$ está disminuyendo. De modo que la integral de la $\int_{t=2}^{p_{k+1}} \frac{dt}{\log t}$ está acotada arriba y abajo por su izquierda y a la derecha las sumas de Riemann. Elegimos una suma de Riemann cuyos puntos de división son $p_1$, $p_2$, ..., $p_{k+1}$: $$\sum_{n=1}^k \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n} \ > \ \int_{t=2}^{p_{k+1}} \frac{dt}{\log t} \ > \ \sum_{n=1}^k \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_{n+1}} > \ \sum_{n=1}^k \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_{n} + \log 2}$$ donde la última desigualdad es por la Bertrand como condición.

Para cualquier $\epsilon>0$, habrá algunos $m$ tal que $\log 2/\log p_n < \epsilon$$n > m$. Así que el último término es $$> \sum_{n=1}^m \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_{n} + \log 2} + \frac{1}{1+\epsilon} \sum_{n=m+1}^k \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n} = -C_{\epsilon} + \frac{1}{1+\epsilon} \sum_{n=1}^m \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_{n}}$$ para una constante $C_{\epsilon}$. Así que el límite en que la reclamación se encuentra acotada entre $1$ $1/(1+\epsilon)$ cualquier $\epsilon>0$.

Answer 2

Se cree que la proporción de $n < k$ para los que $$ \frac{g(n)}{\log p(n)} \(\alpha, \beta) $$ tiende a $$ \int_{\alpha}^{\beta} e^{-t} dt $$ Esto está lejos de ser demostrada, pero tenemos algunos resultados parciales, ver http://arxiv.org/abs/1103.5886. Pero sin duda, suponiendo que la hipótesis en la distribución de $g(n)$ se deduce que el límite debe tienden a $$ \int_{0}^{\infty} t e^{-t} dt = 1 $$ como has empíricamente dado cuenta. El límite de la relación, ciertamente, no implica que $f(n) = O(g(n))$ ya que se sabe que el primer lagunas que para cualquier constante $K > 0$ y para infinidad de $n$,$g(n) > K \log p(n)$. La relación de $(1)$ a Cramer conjetura es en que ambas están relacionadas con la distribución de $g(n)$. El límite de la relación de $(1)$ es el primer momento de la distribución. Mientras Cramer conjetura se corresponde con el caso extremo de la distribución de $g(n)$. De lo contrario, pidiendo una relación de las cantidades a pedir en cuanto a si existe una relación entre la media y las colas de una distribución. La respuesta no es realmente a menos que tenga alguna información adicional.

Finalmente, algunas observaciones. Observe que si la conjetura sobre la distribución de las brechas de falla, entonces el límite podría ser $\neq 1$. Por lo tanto, para demostrar que el límite es uno usted necesitará una cierta cantidad de control sobre la distribución promedio de las brechas. Esencialmente, usted está preguntando acerca de el primer momento de la distribución de los espacios entre los números primos. Desde el primer momento es más fácil que el total de la distribución no puede ser algo de esperanza de la prueba de $(1)$. Tan lejos como la información contenida en el primer momento, no es mucho, a menos que usted puede agregar algunos otros momentos, como el de la segunda (la varianza).