Ejemplo de módulos no planos.

Question

Deje que$R = \mathbb{C}[t]$ sea un anillo de polinomios en la variable$t$ con coeficientes en el campo de los números complejos$\mathbb{C}$ y deje que$$N = R[x]/(tx-t).$ $

Afirmo que$N$ no es un módulo$R$ - plano. Si consideramos la secuencia exacta$$0 \rightarrow(t) \rightarrow R$$ such that the ideal $ (t)$ is viewed as an $ R $ -module.

Sabemos que la secuencia anterior es exacta si el mapa$(t) \rightarrow R$ es inyectivo. Supongamos que N es plana, entonces esto significa que$N \otimes (t) \rightarrow N \otimes R$ tiene que ser inyectivo. ¿Cómo voy desde aquí?

Gracias.

Answer 1

Primero de todos, usted debe ser más precisos cuando indica tensor de productos. En realidad, en su marco, $\otimes$ puede significar $\otimes_{\mathbb{C}}$ o $\otimes_R$.

Si $\otimes=\otimes_{\mathbb{C}}$, entonces usted está pensando en $R$ $N$ $\mathbb{C}$- espacios vectoriales. Por lo tanto son libres y por lo tanto plana.

Si $\otimes=\otimes_R$, a continuación, proceder como sigue. Set $I:=\langle tx-t\rangle\subseteq R$. Considerar el elemento $\left(x-1+I\right)\otimes_R t\in N\otimes_R \langle t\rangle$. Aviso que desde $1\notin \langle t\rangle$ softonic no ha $\left(x-1+I\right)\otimes_R t=\left(tx-t+I\right)\otimes_R 1=0$$N\otimes_R \langle t\rangle$. Sin embargo, cuando se asigna este elemento de a $N\otimes_R R$ través $N\otimes_R \langle t\rangle \to N\otimes_R R$, entonces ahora tenemos $1\in R$$\left(x-1+I\right)\otimes_R t=\left(tx-t+I\right)\otimes_R 1=0$$R$.

Conclusión: el mapa no es inyectiva y, por tanto, $N$ no puede ser plano.