problemas sobre ideales ideales

Question

Deje $A=\mathbb{Z}[X,Y]/(Y^2-6X^2), B=\mathbb{Z}[X,T]/(T^2-6)$ donde $X,Y,T $ son variables y deje $x,y$ ser el cosets de $X,Y$ $A$ mientras $x',t$ ser el cosets de $X,T$$B$.

Considerar los ideales $P_1=xA+yA+5A$, $P_2=(x-y)A+5A$, $Q_1=x'B+(t+1)B$.

Mostrar que $P_1, P_2, Q_1$ son los principales ideales.

$P_1$ se puede hacer teniendo en cuenta la un número finito de elementos de $A/P_1$ y la comprobación de que una de las principales ideales. Como para $P_2$ $Q_1$ parece ser "intuitivamente obvio" que cualquier elemento en $P_2, Q_1$ no factorizar en los que no lo son, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Calcular los anillos de cociente:

$A / P_1 \cong {\mathbb Z}[X,Y]/(Y^2 - 6X^2, X, Y, 5) = {\mathbb Z}[X,Y]/(X, Y, 5) \cong {\mathbb Z}_5$.

$A / P_2 \cong {\mathbb Z}[X,Y]/(Y^2 - 6X^2, X - Y, 5) \cong {\mathbb Z}[X]/(X^2 - 6X^2, 5) = {\mathbb Z}[X]/(5) \cong {\mathbb Z}_5[X]$.

$B / Q_1 \cong {\mathbb Z}[X, T]/(T^2 - 6, X, T+1) \cong {\mathbb Z}[T]/(-5, T+1) \cong {\mathbb Z}_5$.

En los tres casos, el cociente es un dominio integral, por lo que$P_1$,$P_2$ y$Q_1$ son ideales principales.