¿Qué significa "la cuantificación no es un functor" significa?

Question

Las respuestas a esta pregunta , hacer un buen trabajo de exploración, en un nivel heurístico, lo que "cuantización" debe ser. Desde mi punto de vista, la cuantización implica la sustitución de un (propiedad conmutativa) Poisson álgebra algunos no conmutativa álgebra asociativa. Poisson álgebras de surgir de forma natural, especialmente como álgebras de funciones en la geometría y la física. Álgebras no conmutativas surgen naturalmente como álgebras de operadores en espacios lineales.

A menudo he oído decir que "la cuantización no es un functor". Me pregunto qué un enunciado preciso de esto es.

Por ejemplo, yo podría imaginar declaraciones de la siguiente forma.

1. No hay functor de la categoría de Poisson colectores (y de Poisson mapas?) para el lado contrario de la categoría de álgebras asociativas satisfacer algunas de niza de la propiedad.
2. No hay functor de la categoría de simpléctica colectores (y de Poisson mapas?) para el lado contrario de la categoría de álgebras asociativas satisfacer algunas de niza de la propiedad.
3. Recordar que para cualquier liso colector, su cotangente paquete es naturalmente simpléctica. No hay functor de la categoría de suave colectores a la categoría de álgebras asociativas que cuantiza la cotangente del paquete.
4. Recordemos que el doble de la universal que envuelve el álgebra de la Mentira bialgebra es, naturalmente, la de Poisson de Hopf. No hay functor de la categoría de Mentira bialgebras a la categoría de álgebras de Hopf satisfacer algunas de niza de la propiedad.

En realidad, 4. es falso. De hecho, Etingof y Khazdan construido un functor de bialgebras a álgebras de Hopf en la satisfacción de un host de propiedades, y Enriquez clasificados de todos los que con buen propiedades. Tenga en cuenta que Kontsevich da una cuantización de cualquier Poisson colector, pero tal vez su no functorial?

Answer 1

Este es el propósito de explicar un poco más algunas de las cosas que ya se han mencionado antes.

Cuantización de la Mentira bialgebras es de hecho un functor, como fue demostrado en mi trabajo con Kazhdan. Sin embargo, la Konstevich o Fedosov deformación de cuantización no functors en este sentido. De hecho, no hay ni un functorial la deformación de la cuantización de la simpléctica avión, que se refiere a veces como "Groenewald-van Hove teorema", mencionado en una de las respuestas anteriores. La esencia de este teorema es que no hay manera de cuantizar la simpléctica plano conservando todas sus simetrías, es decir, simpléctica diffeomorphisms. Hablando de manera algebraica, la Mentira álgebra de simetrías infinitesimales de la simpléctica avión es de $L_0=C^\infty(\Bbb R^2)/\Bbb R$, y la Mentira de álgebra de las simetrías de la (digamos, Moyal) cuantización es el cociente de la cuantizado de álgebra por su centro, $L=C^\infty(\Bbb R^2)[[h]]_\ast/\Bbb R[[h]]$, con soporte $[a,b]:=(a\ast b-b\ast a)/h$. Ahora, $L$ es un plano de deformación de $L_0$, pero el punto clave es que es de ${\bf no trivial}$. Este nontriviality (que es la esencia de la Groenewald-van Hove teorema) es la obstrucción a la existencia de una cuantización functor.

Sin embargo, como fue mencionado en una respuesta anterior, Drinfeld asociador hace, de acuerdo a Tamarkin, dar un mapa entre los conjuntos de clases de isomorfismo de Poisson de las estructuras y de los productos estrella (que no es un functor, sin embargo, ya hemos modded por automorfismos).

Answer 2

Aquí es una declaración precisa de cómo cuantización no es un functor:

5) no Hay functor de la categoría clásica de $\mathcal C$ de Poisson colectores y de Poisson se asigna a la cuántica categoría $\mathcal Q$ de espacios de Hilbert y operadores unitarios que es consistente con la cotangente bundle/$\frac12$-densidad de la relación (explicado a continuación).

El resultado es debido a que Van Hove, en el "Sur le probleme des relations entre les transformaciones unitaires de la mecanique quantique et les transformaciones canoniques de la mecaniques classique". Este es un papel viejo y no puedo encontrar un enlace para ello, pero la referencia que he encontrado es Weinstein "Conferencias sobre Simpléctica Colectores."

Por "la cotangente bundle/$\frac12$-densidad de la relación", me refiero a lo siguiente: si $\mathcal M$ es la categoría de suave colectores y diffeomorphisms, tenemos una cotangente functor de $\mathcal M \a \mathcal C$. Este asigna a cada colector su cotangente de un paquete con el simpléctica canónica de la estructura, y a cada diffeomorphism la inducida por symplectomorphism de la cotangente paquetes.

También tenemos una natural functor de $\mathcal M \a \mathcal Q$. Para cualquier liso colector de $X$ considerar el paquete de complejo $\frac12$-densidades en $X$. (¿Qué es el paquete de complejo de $s$-densidades? Así, la fibra de más de un punto de $x \in X$ es el conjunto de funciones $\delta_x: \bigwedge^{top} T_xX \to \mathbb{C}$ tal que $\delta(cv) = |c|^{s}\delta(v)$.) Si $\delta^1$ y $\delta^2$ son suaves compacto-compatible $\frac12$-densidades, sus pointwise producto de $\delta^1 \bar{\delta^2}$ es una forma compacta compatible 1-densidad de la cual podemos integrar para obtener un número complejo. Esto convierte el espacio de todas las secciones en un pre-espacio de Hilbert, la conclusión de que es lo que nuestro functor asigna a la multiplicidad de $X$. Como cabría esperar, el canónica de la naturaleza de la construcción nos permite asignar unitaria de operadores entre espacios de Hilbert a diffeomorphisms entre suave colectores, por lo tanto es functorial.

(Nota: Si elegimos una forma de volumen en $X$, el procedimiento anterior se produce algo isomorfo con el espacio de $L^2$ funciones en $X$, con respecto a este formulario, pero para conseguir algo functorial queremos canónica de la construcción).

A partir de este par de functors $\mathcal M \a \mathcal C$ y $\mathcal M \a \mathcal Q$ obtenemos un producto functor de $\mathcal M \a \mathcal{C} \times \mathcal{P}$. La imagen de este functor es una subcategoría de $\mathcal C \times \mathcal Q$ que vamos a llamar el "cotangente bundle/$\frac12$-densidad de la relación." (La palabra relación, se entiende en el mismo sentido que la ordinaria de la relación entre dos conjuntos es un subconjunto de sus productos).

Ahora podemos aclarar lo que se entiende por nuestra declaración original: no hay functor de $\mathcal C \a \mathcal Q$ cuya gráfica contiene la cotangente bundle/$\frac12$-densidad de la relación. Las razones por las que esta es una condición deseable provienen de la física y está más allá de mí, pero a grandes rasgos creo que el punto es que no existe una buena idea de lo que es un cuantización functor se supone que debe hacer a la cotangente paquetes.

Answer 3

Una proposición P es un monoidal simétrica de la categoría cuyos objetos son los enteros no negativos, con tensor de producto se define como la suma de enteros (por lo tanto moralmente, es un único objeto V, el objeto de la unidad, y que varias potencias de V; de manera que es el morfismos que la hace interesante). Una representación de la proposición P simétrica del tensor de la categoría C es un tensor simétrico functor de P a C.

Una proposición es una forma de codificación de los morfismos la definición de una estructura que le interesa, de manera universal. Una representación de una proposición P en una categoría C es la misma cosa como un gadget modelado por P, en la categoría C. Por ejemplo, ver la proposición de Alg a continuación; representaciones en C son la misma cosa, como álgebras en C. Una cosa buena acerca de Props es que se les puede dar por generadores y relaciones, y también se expresa a través de Schur functors $\mathbb{S}_\lambda$ se define en cualquier simétrica del tensor de la categoría de forma similar a la definición en $GL_n$ (si alguien quiere me puede elaborar, pero una búsqueda de Schur functors probablemente va a rendir lo suficiente de los resultados).

Los ejemplos incluyen la proposición "Alg": tiene una morfismos $u:1\to V$, y una de morfismos $\mu: V\otimes V\a V$, y una relación de $\mu\circ(\mu\otimes id)=\mu\circ(id\otimes \mu)$, y una relación de $\mu(u\otimes id)=\mu(id\otimes u)=id$, etc. Así que toman formalmente la simetría del tensor de la categoría de objetos de los enteros no negativos, que se admite mapas como $\mu$ y $u$, y usted cociente de esas relaciones. Uno puede asimismo definir Mentira-Alg, Mentira-Bialg, Bi-alg, Hopf, cuasi-Hopf,... se puede ir todos los días.

Un punto clave es que los morfismos entre puntales inducir la retirada de functors entre sus representaciones en cualquier simétrica del tensor de la categoría, pero en el orden inverso (es decir, como de costumbre $\rho:P\S$ induce $\rho^*:S-mod\a P-mod$. Por ejemplo, hay un morfismos de accesorios de Lie-Alg a Alg, el envío de la escuadra de $[,] \mapsto m - \tau\circ m$. Esto induce a la familiar olvidadizo functor de Alg a Mentir-alg.

En situaciones donde hay un quantum de la estructura que es una cuantización de una estructura clásica, obtendrá dos puntales definido más de $k[[\manejadores]]$. Por ejemplo, en el caso de la Mentira-Bialg, y de Hopf de alg, ambas sentido sobre k[[\manejadores]]. El límite clásico functor es inducida por una proposición mapa de Bialg a Hopf alg. Resulta que tengo una sección de Hopf de alg a Bialg, que es el tipo de cosa que usted puede comprobar por generadores y relaciones. Por supuesto, no tiene una única sección, hay muchas opciones. Sin embargo, el hecho de tomar esas decisiones de una VEZ POR TODAS en este particular de la proposición, entonces implica que usted tiene un functor de cuantización entre estas dos estructuras en cualquier simétrica del tensor de la categoría. Creo que la moral es que la pregunta sobre alguna construcción en simétrica del tensor de categorías se functorial, que en general es un negocio difícil, puede en ciertos casos puede reducirse a una sola (no necesariamente canónica!) mapa de accesorios.

En el caso de Kontsevich de cuantización, El problema parece ser que las cuantizaciones se clasifican (hasta el isomorfismo!) por HH^2(M) (si se trata de un múltiple de Poisson), y HH^2(A,a), del álgebra en general. Obstrucciones a la cuantización aparecen en HH^3. Si, por ejemplo HH^3(UN,UNA) se desvanece, que significa que usted puede cuantizar su Poisson álgebra paso-por-paso. Básicamente empieza con sus dos cocycle, se le da una orden de deformación, de intentar y ver si su nueva estructura de álgebra es asociativa hasta ahora (lo que significa escribir asociatividad de identidad, expandir el poder de $\manejadores de dólares, y examinar el primer lugar donde no trivialmente cero); esto producirá un cierto muy explícito 3 co-ciclo que usted necesita para desaparecer. Si 3-cocycle se desvanece en HH^3, entonces usted obtener como d(w) para algunos 2 co-ciclo. Esto luego se le da la siguiente orden superior de la deformación de la multiplicación, y así sucesivamente ad infinitum.

El problema aquí es que en cada paso se están haciendo una elección de cocycle w tales que dw=su anterior obstrucción. Los resultados que obtendrás serán únicas, algunos no canónica de isomorfismo, pero que no es lo suficientemente bueno para functoriality. En particular, no hay una proposición de morfismos entre los no-álgebras conmutativas y de Poisson álgebras de que sería unificar el enfoque para todos los ejemplos.

Answer 4

Creo que la frase "cuantización no es un functor" se originó en los días antes de la deformación de cuantización. Originalmente, basada quizás en muy pocos ejemplos de sistemas cuánticos que las personas que tenían a su disposición, la esperanza era que uno podía cuantizar un clásico hamiltoniano del sistema por el simple procedimiento de sustitución (hasta $i\manejadores$) el corchete de Poisson de las funciones del conmutador de los operadores. En otras palabras, supongamos que $P$ es un clásico espacio de fase y $H \in C^\infty(P)$ una función hamiltoniana, con tiempo de evolución dado por el campo vectorial hamiltoniano $\lbrace H,-\rbrace$. Cuantización, sería entonces un mapa de $f \mapsto O_f$ de $C^\infty(P)$ (la clásica observables) a la auto-adjuntos a los operadores en un espacio de Hilbert de tal manera que $$[O_f,O_g] = i\manejadores O_{\lbrace f,g\rbrace}.$$

Pronto se dio cuenta de que esto podría no funcionar para todos los clásicos observables. El primer resultado de este tipo es el llamado Grönewald/Van Hove del teorema, el cual muestra que el pedido de las ambigüedades de la fuerza de la ecuación anterior para ser cierto sólo hasta los términos de orden superior en $\manejadores de dólares.

Una discusión de esto se da en la Sección 5.4 de Abraham y Marsden Fundamentos de la Mecánica.

En general, se acepta que uno tiene que tomar decisiones en la cuantización. Incluso en el contexto de la deformación de cuantización, la deformación puede no ser única. Moyal de cuantización, por ejemplo, corresponde a una opción de ordenar la prescripción (Weyl simétrico de realizar el pedido).

También hay sutiles efectos. Por ejemplo, es posible cocinar una dimensión cuántica de sistemas mecánicos para que el hamiltoniano no es auto-adjunto, pero admite que no equivalentes auto-adjunto extensiones, cada una dando lugar a diferentes físico predicciones.

Me doy cuenta de que en realidad, no se responder a tu pregunta, que tal y como yo lo entiendo de la pregunta entre las categorías que hace de cuantización no ser un functor. Mi punto es que la cuantización puede incluso no ser un mapa!

Actualización

De haber pensado en la pregunta un poco más, yo creo que quizás lo que se entiende en el siguiente sentido. Cuantización, el que sea, debe ser un proceso por el cual se pasa de un clásico de hamilton a un sistema mecánico-cuántica del sistema. El primero está dado por una distribución de Poisson colector de $P$ y una selección de hamilton, el segundo por un espacio de Hilbert de $\mathcal{H}$ y un auto-adjunto del operador. Cuantización debe relacionarse clásica estados clásica y observables a estados cuánticos y la cuantía de las características observables. En particular, se deben relacionar los puntos en $P$, con rayos en $\mathcal{H}$. Por lo tanto una posible esperanza sería que la cuantización de ser un functor de la categoría de Poisson colectores a la categoría de (projectivised?) Hilbert espacios. Quizás es en este sentido que la frase en su pregunta se refería. Yo estaba tratando de recordar dónde fue que leí que, por primera vez, pero hasta ahora nada. Fue hace mucho tiempo...

Answer 5

Ciertamente, si usted no está simplemente buscando en la deformación de cuantización, no hay forma razonable de hacer un functor que crea cada objeto cuántico de un clásico objeto. No puedo pensar en un riguroso obstrucción de improviso, pero, por ejemplo, hay una gran variedad de $C^*$-álgebras, que son cuántica compacto Hausdorff espacios, que no se parecen en nada como los clásicos espacios de Hausdorff. Para dar otro ejemplo, es técnicamente cierto que no es un functor de conjuntos finitos para la versión cuántica, finito-dimensional de la matriz de álgebras. Pero este functor es tan lejos de un isomorfismo de las categorías, utilizando unitario operadores o totalmente positiva mapas en el quantum caso de que se pierde el punto. Un famoso descubrimiento es que la matriz de álgebras de tener más poder computacional (computación cuántica) que finito o en conjuntos finitos probabilistas espacios (clásica de cálculo). Si una cuantización functor es surjective en los objetos, pero lejos de surjective en morfismos, a continuación, que es un segundo nivel en el que "cuantización no es un functor".

Aquí es un punto que puede ser de algún interés. En algunos casos importantes, un enorme objeto no es el mismo que el de un clásico objeto definido en el quantum de la categoría. En particular, un quantum de grupo, que se define correctamente como un álgebra de Hopf, no es un objeto de grupo. Un conmutativa álgebra de Hopf es realmente un objeto de grupo en el reverso de la categoría de álgebras conmutativas. En otras palabras, un objeto de grupo en la categoría de afín esquemas es un esquema afín cuya coordinar anillo es un anillo de Hopf. Lo mismo es cierto en clasificados-conmutativa álgebras de Hopf. Pero un general álgebra de Hopf es una bestia diferente, debido a que el producto tensor de álgebras no conmutativas no es un subproducto en el sentido de la categoría de teoría.

No obstante, el producto tensor es la ortodoxa cuántica equivalente de un subproducto, y un álgebra de Hopf es la ortodoxa cuántica equivalente de un grupo. En la libertad de probabilidad, se reemplazará el producto tensor con un producto gratuito, y que es perfectamente interesante, pero es una modificación de la norma cuántica probaibility. No estoy seguro de si hay una buena manera de explicar la diferencia entre los ortodoxos de quantum del producto y de la categoría de subproducto. (Tal vez en realidad no hay nada que explicar.) Así, una característica importante es que el álgebra de Hopf son los axiomas de la auto-dual.