Serie de Taylor de una función integral

Question

Problema $$I(x) = \int_{1}^x \frac{e^t - 1}{t}$$

Encuentre $I'( \sqrt{x} )$ .

Solución

Sabemos que $F'(x) = f(x)$ por el teorema fundamental del cálculo así que $$I'(x) = \frac{e^t -1}{t}$$ Y así $$I'( \sqrt{x}) = \frac{ e^{\sqrt{x}} -1 }{ \sqrt{x}}$$

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Problema

Encuentra el cuarto polinomio de Taylor de $I(x)$ alrededor de $0$ (¿Supongo que esto la convierte en una serie de Maclaurin?)

Serie Taylor: $$ \sum_{n=o}^\infty \frac{ f^{(n)} (a) }{n!} (x-a)^n$$

Así que como conocemos la primera derivada, podemos calcular la primera expansión de Taylor:

$$\frac{e^t-1}{t} (x)^n$$

¿Continúo así? ¿Estoy haciendo bien todo este problema? No me siento nada seguro.

Answer 1

He aquí un comienzo. Utilizando la serie de potencias de $e^t$ tenemos

$$ I(x) = \int_{1}^x \frac{e^t - 1}{t} = \int_{1}^x \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k-1}}{k!} dt = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\int_{1}^{x}{t^{k-1}} dt. $$

Creo que puedes terminar el problema.

Nota: Sólo necesitas un polinomio de cuarto grado.

Answer 2

Una pista: $$I(x)=\int^x_1\dfrac{e^t-1}{t}dt=\int^x_1\sum^\infty_{k=1}\dfrac{t^{k-1}}{k!}dt-\ln(x)= \sum^\infty_{k=1}\dfrac{x^{k}-1}{k\times k!}-\ln(x)$$