¿La esfera de homología de Poincare se integra suavemente en$\mathbb{C}P^2$?

Question

¿La esfera de homología de Poincare se integra suavemente en$\mathbb{C}P^2$?

Si es así, supongo que una forma de ver esto sería tener una descomposición de la manija para$\mathbb{C}P^2$ de manera tal que un subconjunto de las 2 manijas, junto con todas las manijas 1, sea una descripción quirúrgica de la esfera de homología de Poincare (después de cambiar todos los puntos en los 1-asas a ceros). No puedo parecer una descripción de$\mathbb{C}P^2$.

No sé cómo se haría para demostrar que tal incrustación no existe.

Answer 1

No. La división de $\Bbb{CP}^2$ en dos piezas, $X_1, X_2$ a lo largo de la Poincaré homología de la esfera es tal que $H_*(X_1) \oplus H_*(X_2) = H_*(\Bbb{CP}^2)$ $* < 3$ (ejecución de Mayer-Vietoris). En particular, hemos dividido la intersección de la forma. Por lo tanto, una de las dos piezas es una homología de la pelota y el otro es positiva definida. $\Sigma(2,3,5)$ no puede enlaza la primera pieza, ya que nunca los límites negativos definitiva colector de intersección con la diagonal de la forma por Donaldson del teorema: si lo hizo, entonces coronando el $-E8$-colector (suave, un colector de intersección de la forma $-E8$ y el límite de $-\Sigma(2,3,5)$) da un buen cerrada orientada a 4-colector negativo en definitiva, no diagonalizable intersección formulario.

En un trabajo relacionado, pero diferente sentido, la Proposición 3.4 de este gran papel muestra que el mínimo de $k$ tal que $\Sigma(2,3,5)$ incrusta en $\#^k S^2 \times S^2$$k = 8$.