Encuentre todos los$x$ de manera que la serie converja

Question

Deje$$\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{\cos(nx)}{\ln(n)}}$ $

Quiero encontrar todos los$x\in \mathbb R$ de manera que la serie converja. Solo sé que la serie converge para$x=\pi,\frac{\pi}{2}$, pero no sé para el resto.

Answer 1

Sugerencia: puede que encuentre útil la prueba de Dirichlet .

Answer 2

Si$x$ es un múltiplo de$2\pi$, diverge bastante claramente.

De lo contrario, la serie converge. Aquí hay una guía de por qué.

1. Muestra esa $\sum_{n=1}^N \cos(nx) \leq \frac{\cos(Nx/2)\sin\left((N+1)x/2\right)}{\sin(x/2)}$.

   Puede hacer esto considerando$\cos(nx)$ como la parte real de$e^{inx}$ y usando series geométricas.

2. Utilice la prueba de Dirichlet .

   Como (ahora mismo) Ted Shifrin ha mencionado.