Aclaración sobre los grupos cocientes.

Question

He comenzado a mirar cociente de grupos, así que no sé si esta pregunta va a tener sentido...

En este artículo de wiki, $G/H$ se define como el conjunto de la izquierda cosets de $H$$G$, sin ninguna referencia a si existe o no $H$ es normal. En el grupo cociente artículo, sin embargo, la definición de está indicado sólo para al $H$ es un subgrupo normal de $G$.

1. Lo que cuentas de la discrepancia entre los dos artículos?
2. Son cociente de grupos sólo se define cuando se $H \triangleleft G$?
3. Si uno está tratando de determinar lo $G/H$ está explícitamente, esta se verá afectada si $H$ es normal o no? Hay advertencias que debo anticipar si $H$ es no normal?

Quiero señalar que me llegó a través de una similar el artículo, pero no entiendo todo.

Answer 1

$G/H\,$ es el cociente de grupo si y sólo si $H$ es un subgrupo normal de $G$. Sin embargo, la notación $G/H$ denota el conjunto de la izquierda cosets de $H$$G$, y no necesariamente indican un coeficiente de grupo. Si también pasa a ser el caso de que $\;H \triangleleft G,\;$ $G/H$ no es sólo el conjunto de la izquierda cosets de $H$$G$, pero también un grupo, es decir, el cociente de grupo, a veces referido como el factor grupo, el grupo de cosets bajo "coset multiplicación", que por supuesto es definida si y sólo si la izquierda cosets de $H$ igual el derecho cosets de $H$$G$: es decir, si y sólo si $H$ es un subgrupo normal de $G$.

Answer 2

G / H es el conjunto de todos los cosets izquierdos de H en G, pero esto es solo un grupo si H es un subgrupo normal. Es entonces un grupo cociente.