Patrón en isomorfismos entre$\mathbb Z_m \times \mathbb Z_n$ y$\mathbb Z_{mn}$

Question

En general, el grupo de $\mathbb Z_{mn}$ en suma $\bmod mn$ es isomorfo al producto directo de $\mathbb Z_m \times \mathbb Z_n$ si y sólo si $\gcd(m,n)=1.$ Esto es fácil de ver desde $\mathbb Z_{mn}$ es generado por el elemento $(1,1)$, y si $\gcd(m,n)=1$, entonces esto sólo será cero si es multiplicado por sí mismo $mn$ veces (lo que resulta en el grupo cíclico).

Sin embargo estoy interesado en la construcción de un isomorfismo entre los dos grupos como una expresión explícita. He estado jugando un poco con algunos ejemplos, uno de los cuales es la función de $\phi : \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3 \to \mathbb Z_6$ donde $\phi(a,b) = 3a + 4b \pmod 6$, lo que nos da la deseada isomorfismo. Estoy interesado aquí en la relación entre los números enteros $2$, $3$, y los coeficientes de $3, 4$$a$$b$. Después de jugar en Wolfram|Mathematica, me las arreglé para obtener la siguiente isomorphisms $\phi_{m,n} : \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \to \mathbb Z_{mn}$ para coprime $m,n$$\{1, 2, \dots, 10\}$.

Primero de todo, los siguientes resultados parecen sostener en general.

$$\phi_{1, n}(a, b) = a + b \qquad \text{for all $n$}$$ $$\phi_{m, 1}(a, b) = a + b \qquad \text{for all $m$}$$ $$\phi_{2, n}(a, b) = na + (n + 1)b \qquad \text{for all $n$}$$ $$\phi_{m, n}(a, b) = K a + L b \iff \phi_{n,m}(a, b) = L a + K b \qquad \text{for all $m, n$}$$

Beyond this point, I could not spot a general pattern. The isomorphisms I obtained are:

$$\phi_{3, 4}(a, b) = 4a + 9b$$ $$\phi_{3, 5}(a, b) = 10a + 6b$$ $$\phi_{3, 7}(a, b) = 7a + 15b$$ $$\phi_{3, 8}(a, b) = 16a + 9b$$ $$\phi_{3, 10}(a, b) = 10a + 21b$$ $$\phi_{4, 5}(a, b) = 5a + 16b$$ $$\phi_{4, 7}(a, b) = 21a + 8b$$ $$\phi_{4, 9}(a, b) = 9a + 28b$$ $$\phi_{5, 6}(a, b) = 6a + 25b$$ $$\phi_{5, 7}(a, b) = 21a + 15b$$ $$\phi_{5, 8}(a, b) = 16a + 25b$$ $$\phi_{5, 9}(a, b) = 36a + 10b$$ $$\phi_{6, 7}(a, b) = 7a + 36b$$ $$\phi_{7, 8}(a, b) = 8a + 49b$$ $$\phi_{7, 9}(a, b) = 36a + 28b$$ $$\phi_{7, 10}(a, b) = 50a + 21b$$ $$\phi_{8, 9}(a, b) = 9a + 64b$$ $$\phi_{9, 10}(a, b) = 10a + 81b$$ Si quieres probar y generar un par de sí mismo, aquí está el Mathematica función que he implementado. Estoy seguro de que se puede optimizar, pero durante los primeros 10 coprime enteros bastaba.

isomorphism[{m_, n_}] := 
     Module[{x = Null}, 
     For[i = 1, i < m*n, 
         i++, (If[#[[2]] == Table[i, {i, 0, m*n - 1}], 
         x = ToString[#[[1]][[1]]] <> "a+" <> ToString[#[[1]][[2]]] <> 
        "b"; Break[]] &) /@ 
     Table[{{i, j}, 
     Mod[i #[[1]] + j #[[2]], m*n] & /@ 
     Table[{Mod[i, m], Mod[i, n]}, {i, 0, m*n - 1}]}, {i, 1, 
    m*n}, {j, 1, m*n}][[i]]]; x];

Agradecería si alguien me puede ayudar a encontrar el patrón para determinar el $\phi_{m, n}$ en general.

Answer 1

Si $m$ $n$ son primos relativos, entonces, por el algoritmo de Euclides extendido, podemos encontrar enteros $u,v$ que $1 = um + vn$. Entonces, no es demasiado duro para demostrar que la asignación de $\phi_{m,n} : \mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n\to\mathbb{Z}_{mn}$ $\phi_{m,n}(a,b)\mapsto vna+umb$ es un isomorfismo.

Es un cálculo simple (sólo el uso de la definición) para comprobar que $\phi_{m,n}$ define un homomorphism. También es trivial comprobar que este es un bien definido de asignación.

Para mostrar que es un isomorfismo, es suficiente para comprobar que es inyectiva, ya que $\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$ $\mathbb{Z}_{mn}$ tienen el mismo tamaño de $mn$ Pero, si $\phi_{m,n}(a,b) = 0$, entonces tenemos $$0 = vna + umb = vna + (1-vn)b = b + n(va - vb),$$ lo que muestra que $b\equiv 0\pmod{n}$. Del mismo modo, $a\equiv 0\pmod{m}$.

El hecho de que $\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$ $\mathbb{Z}_{mn}$ son isomorfos (incluso como anillos), al $m$ $n$ son relativamente primos, usualmente es llamado el teorema del resto Chino.

Answer 2

El mapa dado por las proyecciones canónicas funciona:$\mathbb{Z}_{mn} \to \mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$ dado por$[x]_{mn} \mapsto ([x]_{m}, [x]_{n})$.

Necesitas probar que este mapa está bien definido y es inyectivo. Ambas son pruebas fáciles.