¿Consideramos implícitamente que las categorías del modelo son localmente pequeñas?

Question

¿Consideramos implícitamente que las categorías del modelo son localmente pequeñas?

Tengo la impresión (pero no estoy seguro) de que muchas referencias sobre categorías modelo asumen que todas las categorías son localmente pequeñas, pero no todas redefinen lo que es una categoría, y no se menciona en ninguna parte que las categorías sean localmente pequeñas. Por ejemplo en los libros de Hovey o Hirschhorn, que por cierto me parecen excelentes libros.

Dwyer, Hirschhorn y Kan en Model Categories and More General Abstract Homotopy Theory, fijan un universo $U$ y permitir que los objetos sean clases pero los hom-sets sean $U$ -sets.

Creo que la condición de localmente pequeño es necesaria en la construcción de la categoría de homotopía. Casi todas las referencias (las más pequeñas también) dicen algo así como "los conjuntos hom en la categoría de homotopía son el cociente establece $\mathcal{M}(RQ X, RQ Y) / \sim$ ".

Por supuesto, la mayoría de las categorías de modelos $\mathcal{Top}, \mathcal{sSet}$ Los complejos de cadenas, los preensamblajes simpliciales en sitios pequeños, etc. son localmente pequeños. Así que mi pregunta es

¿Es una convención estándar suponer que la estructura del modelo sólo está en categorías localmente pequeñas?

Gracias

Answer 1

Echa un vistazo en Página de Joyal sobre las categorías de modelos .

En particular, el Corolario 1 muestra que si la categoría del modelo $E$ es localmente pequeña, entonces la categoría de homotopía asociada es también localmente pequeña.

Supongo que, como dices, en la práctica esto no es muy preocupante ya que las catgeorías que nos suelen preocupar son localmente pequeño