Explicación necesaria:$g \,\colon [0,2] \to \Bbb R \,$ será una función dos veces continuamente diferenciable

Question

Estoy atascado en el siguiente problema:

Sea$\,\,g \, \colon [0,2] \to \Bbb R \,$ una función dos veces continuamente diferenciable. Si$\displaystyle \int_{0}^{2}g(x)dx \approx 2 g(1),$ entonces el error en la aproximación es:

1. $\frac{g'(\xi)}{12}$ para algunos $\,\,\xi \in (0,2)$

2. $\frac{g'(\xi)}{2}$ para algunos $\,\,\xi \in (0,2)$

3. $\frac{g''(\xi)}{3}$ para algunos $\,\,\xi \in (0,2)$

4. $\frac{g''(\xi)}{6}$ para algunos $\,\,\xi \in (0,2)$

Alguien me puede ayudar ?

Answer 1

El error de la regla del punto medio es$\dfrac{g''(\xi)(b-a)^3}{24}$ (si el intervalo no se divide en subintervalos). En su ejemplo$a=0$ y$b=2$.

Las respuestas con el primer derivado podrían descartarse sin conocer el término de error preciso. La regla del punto medio es exacta para funciones lineales; el error proviene de la convexidad / concavidad que se expresa en la segunda derivada.