Deje $\,f:[a,b]\to \mathbb{R}\,$ ser continua en $[a,b]$ y derivable en a $(a,b)$. Por el valor medio de la propiedad, para todos los $\,x\in (a,b)\,$ existe $\,\xi_x\in (a,x)\,$ tal que $\,f(x)-f(a)=f'\left(\xi_x\right)(x-a)$. Deje $\,h:(a,b)\to\mathbb{R}\,$ se define como $\,h(x)=\xi_x$. Es la función de $h$ medibles? Es $\,f'\!\circ h\,$ medibles?
La motivación para esta pregunta es la siguiente: en un ejercicio en clase, calculé $\,\int_{\mathbb{R}} \left\lvert F(x)-F(-x)\right\rvert dx\,$ durante un cierto "buena" la función$\,F$$\,\leq \int_{\mathbb{R}} \left\lvert F'\left(\xi_x\right)\right\rvert 2\left\lvert x\right\rvert dx,\,$, pero el profesor me dijo que tenga cuidado, ya que él no estaba seguro de la medición de la $\,x\mapsto F'\left(\xi_x\right)$.
Edit: Gracias por sus respuestas. Suponiendo que $x\mapsto \xi_x$ está bien definido (teniendo en $\xi_x$ como el más pequeño posible), es medible?
