Cómo utilizar el Teorema de Stokes para evaluar $\int_{S} \text{curl} F\cdot d\mathbf{S}$

Question

Sea F = $( yz, 0, x)$ y $S$ es la parte del plano ${x\over2} + {y\over3} + z = 1$ donde $x, y, z \ge 0$ orientado con una normal hacia arriba y luego probar:

$$\int_{S} \text{curl} F\cdot d\mathbf{S} = -1 = \int_{\partial S} F\cdot d\mathbf{s}$$

Me di cuenta de que $\text{curl} F = (0, y-1, -z)$ entonces creo que la parametrización del plano es $(x, y, 1- {x\over2} -{y\over3})\implies n = (\frac 12, \frac13,1)$ . Así que

$$\int_{S} \text{curl} F\cdot d\mathbf{S} = \int_{S} \left(0, y-1, -1 + {x\over2} +{y\over3}\right)\cdot\left(\frac 12, \frac 13,1\right)dA$$

No sé cómo encontrar el límite del plano y no estoy seguro de haberlo hecho bien. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

$S$ será una región triangular con vértices en $(0,0,1),(2,0,0),(0,3,0).$ Podríamos intentar parametrizar esta superficie considerando dos vectores con cola en uno de estos vértices, por ejemplo $(0,0,1)$ , apuntando a los otros dos vértices. Estos vectores son $\langle0,3,-1\rangle$ y $\langle 2,0,-1\rangle$ . Obsérvese que un punto de $S$ será descrito por una combinación lineal de estos vectores: $\mathbf r(u,v)=\langle0,3,-1\rangle u+ \langle 2,0,-1\rangle v + \langle 0,0,1 \rangle = \langle 2v,3u,1-u-v\rangle$ . Verifique que $S$ se genera mediante esta parametrización donde $0\leq u \leq 1$ y $0\leq v\leq 1-u.$

La integral se hace por:

$$\iint_S \text{curl}\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iint_D\text{curl}\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot (\mathbf r_u\times \mathbf r_v)\,dA$$

donde $(u,v)\in D$ con los límites mencionados.

Answer 2

Tienes razón con la parametrización del gráfico $$\left(x, y, 1- {x\over2} -{y\over3}\right)$$ como se observa en la ecuación dada $$z = 1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}.$$

• A continuación, tomamos las derivadas parciales con respecto a $x$ y $y$ y tomar el producto cruzado de $T_x$ y $T_y$ para obtener la normalidad de $$n = \left({1\over2}, {1\over3}, 1\right).$$
• Has calculado $\operatorname{curl}({\mathbf F})$ utilizando el determinante de la matriz como: $\operatorname{curl}({\mathbf F}) = (0, y-1, -z)$ .

Ahora sólo tienes que poner un punto $\operatorname{curl}({\mathbf F})$ con el vector normal $n$ e integrar el producto sobre el dominio de la frontera.

Si mis cálculos básicos son correctos, obtengo $\left({y\over3} - {7\over3}\right)$ para el producto punto. A continuación, tomamos la integral doble de lo anterior y evaluamos sobre el dominio positivo que es, como se ha dicho anteriormente, un subconjunto triangular en $\mathbb{R}^2$ .

edit: trabajando en el formato del post. Soy nuevo en esto jaja.