Pregunta sobre el número de números primos mayores que $3$ en una secuencia de enteros consecutivos.

Question

Recientemente he notado que para cualquier $x > 16$, se deduce que hay, al menos, $2$ enteros en cualquier secuencia de 3 enteros consecutivos que son divisible por un primo mayor que $3$.

Por ejemplo, para$10,11,12$,$5|10$$11$. Para$18,19,20$,$5|20$$19$. (Nota: Para más detalles sobre mi razonamiento, ver por debajo de la línea).

Para cualquier $n$, lo anterior se sigue que hay un $y$ tal que para cualquier $x \ge y$, hay, al menos, $n-1$ enteros divisible por un primo mayor que $3$ en la secuencia de $x, x+1, \cdots x+n-1$?

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He aquí mi razonamiento para cualquier secuencia de 3 enteros consecutivos mayor que $9$ contienen $2$ enteros divisible por un primo mayor que $3$:

Caso 1: $6 | x$

$x+1$ es claramente divisible por un primo mayor que $3$. Suponga que no prime mayor que $3$ divide $x$. Podemos suponer que $x=3^u2$ $3^u2+2 = 2^v$ donde$v > 4$$u > 1$. A continuación, $2^{v-1} - 3^u = 1$ lo cual es imposible por la prueba de catalán de la Conjetura.

Caso 2: $6 | (x+1)$

$x$ $x+2$ son claramente divisible por un primo mayor que $3$.

Caso 3: $6 | (x+2)$

$x+1$ es claramente divisible por un primo mayor que $3$. Suponga que no prime mayor que $3$ divide $x+2$. Podemos suponer que $x+2=3^u2$ $3^u-2 = 2^v$ donde$v > 4$$u > 1$. A continuación, $3^u - 2^{v-1}=1$ lo cual es imposible por la prueba de catalán de la Conjetura.

Caso 4: $3 | x$ $2 | x+1$

$x+2$ es claramente divisible por un primo mayor que $3$. Asumir ambos $x$ $x+1$ no divisible por un primo mayor que $3$. A continuación, $2^v - 3^u = 1$ donde$v > 3$$u > 2$, pero esto es imposible por la prueba de catalán de la Conjetura.

Caso 5: $2 | x$ $3 | x+1$

$x$ $x+2$ no puede ser ambos poderes de $2$ por lo que uno debe ser divisible por un primo mayor que $3$. Además, no es posible que $x$ es una potencia de $2$ $x+1$ es una potencia de $3$ desde por la prueba de catalán de la conjetura: $3^u - 2^v \ne 1$ donde $u > 2$ $v > 3$ no es posible que $x+2$ es una potencia de $2$ $x+1$ es una potencia de $3$ desde $2^m - 3^n \ne 1$ donde$m > 3$$n > 2$.

Caso 6: $2 | x+1$ $3 | x+2$

$x$ es claramente divisible por un primo mayor que $3$. No es posible que tanto $x+1$ a ser una potencia de $2$ $x+2$ a ser una potencia de $3$ desde por la prueba de catalán de la Conjetura $3^v - 2^u \ne 1$ donde$v > 2$$u > 3$.

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Edit: $x > 9$ no es correcta, ya que $18-16=2$ no violar catalán de la conjetura. Así que, he corregido a $x > 16$. Muchas gracias a J. B. King para señalar esto.

Answer 1

Creo que he trabajado fuera de la respuesta para una secuencia de a $n$ enteros consecutivos: $x+1, x+2, \cdots, x+n$

Podemos suponer al menos un entero $x+c$ donde $c \le n$ no es divisible por un primo mayor que $3$, de modo que $x+c = 2^m3^n$ donde $m,n \ge 0$

La pregunta es ¿bajo qué circunstancias $2^m3^n \pm d = 2^u3^v$ donde $u,v \ge 0$.

Sabemos que cualquiera de las $2 | d$ o $3 | d$, por lo que sólo tenemos que resolver para los tres casos.

Caso 1: $2\mid d$ $3\nmid d$

Podemos suponer $d>0$ y, o bien $d=2^u3^v-2^w$ o $d=2^w - 2^u3^v$.

Si $u > w$, $\frac{d}{2^w} = 2^{u-w}3^v - 1$ $\frac{d}{2^w}=1$ si $v=0$$u-w=1$. Así, no es cierto si $d < 2^{u-1}$ o si $x > 2n$

Si $w > u$, $\frac{d}{2^u} = 3^v - 2^{w-u}$ o $\frac{d}{2^u} = 2^{w-u} - 3^v$. Por eso, $\frac{d}{2^u} = 1$ si $v=2$ $w-u=3$ o $w-u=2$ $v=1$ por la prueba de detrás del catalán Conjetura. Así, no es cierto si $d < \frac{x}{72}$ o si $x > 72n$ para la primera condición o $d < \frac{x}{12}$ o si $x > 12n$ para la segunda condición.

Si $w=u$,$\frac{d}{2^w} = 3^v - 1$. Si se trata de un poder de $2$,$3^v - \frac{d}{2^w} = 1$. Así, que $v=2$$\frac{d}{2^w} = 8$, por tanto, no es cierto si $d < \frac{8x}{9}$ o $x > \frac{9}{8}n$

Caso 2: $3\mid d$ $2\nmid d$

Podemos suponer $d>0$ y, o bien $d=2^u3^v-3^w$ o $d=3^w - 2^u3^v$.

Si $v > w$, $\frac{d}{3^w} = 2^u3^{v-w} - 1$ $\frac{d}{3^w}\ne1$ desde $v-w>0$

Si $w > v$, $\frac{d}{3^v} = 3^{w-v} - 2^u$ o $\frac{d}{3^v} = 2^u - 3^{w-v}$. Por eso, $\frac{d}{3^v} = 1$ si $w-v=2$ $u=3$ o $u=2$ $w-v=1$ por la prueba de detrás del catalán Conjetura.

Si $w=v$,$\frac{d}{3^w} = 2^u - 1$. Si se trata de un poder de $3$,$2^u - \frac{d}{3^w} = 1$. Así, que $u=2$ $\frac{d}{2^w} = 3$

Caso 3: $6\mid d$

Podemos suponer $d>0$ $d=2^u3^v - 2^s3^t$ donde $u,v > 1$ o $s,t > 1$

Si $u = s$, $\frac{d}{2^u} = 3^v - 3^t \ne 1$ o $\frac{d}{2^u} = 3^t - 3^v \ne 1$. Así, podemos asumir que el $u \ne s$.

Si $v=t$, $\frac{d}{3^v} = 2^u - 2^s$ o $\frac{d}{3^v} - 2^s - 2^u$. En este caso, $\frac{d}{3^v} = 1$ si $u=1$ $s=0$ o $s=1$$u=0$.

Si $u > s$$v > t$, $\frac{d}{2^s3^t} = 2^{u-s}3^{v-t} - 1$ $\frac{d}{2^s3^t} \ne 1$ desde $v > t$.

Si $s > u$$t > v$, $\frac{d}{2^u3^v} = 2^{s-u}3^{t-v} -1$ $\frac{d}{2^u3^v} \ne 1$ desde $t > v$

Si $u > s$$v < t$, $\frac{d}{2^s3^v} = 2^{u-s} - 3^{t-v}$ o $\frac{d}{2^s3^v} = 3^{t-v} - 2^{u-s}$, por lo que las únicas soluciones son $u-s=2$ $t-v=1$ o $t-v=2$ $u-s=3$ por la prueba de catalán de la Conjetura.

Si $s > u$$t < v$, $\frac{d}{2^u3^t} = 3^{v-t} - 2^{s-u}$ o $\frac{d}{2^u3^t} = 2^{s-u} - 3^{v-t}$, por lo que las únicas soluciones son $v-t=2$ $s-u=3$ o $s-u=2$$v-t=1$.