Deje $F,F(x)$ número de campos, y el anillo de enteros de $F$$A$, el anillo de enteros de $F(x)$ ser $B$. $f(y)$ es el polinomio mínimo de a$x$$F$,$f(y)=(y-x)h(y)$, s.t. $h(y)=a_0+a_1y+...a_{n-1}y^{n-1}$. Si $x\in B$, entonces la forma de ver el $a_i$$B$?
Respuesta
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Desde $x$ es un entero algebraico, existe una monic, polinomio irreducible $p$ $\mathbb{Z}[y]$ tal que $p(x) = 0$.
Desde $p \in \mathbb{Z}[y]$, $p$ es también en $F[y]$.
Entonces, desde el $f(y)$ es el polinomio mínimo de a$x$$F$, se deduce que el $f$ divide $p$$F[y]$, por lo tanto $f$ también se divide $p$$\mathbb{C}[y]$.
Deje $f(y) = (y - x_1)\cdots (y-x_n)$ ser el total de la factorización de $f$$\mathbb{C}[y]$.
A continuación, $x_1,...,x_n$ también están las raíces de $p$, por lo tanto $x_1,...,x_n$ son algebraica de los números enteros.
De ello se sigue que todos los coeficientes de $f(y)$ son algebraica de los números enteros. A continuación, ya que
- $F$ es el campo de fracciones de $A$
- $A$ es integralmente cerrado
- $f \in F[y]$
de ello se desprende que $f \in A[y]$, por lo tanto, desde el $A \subseteq B$, también tenemos $f \in B[y]$.
Deje $K = F(x)$.
A continuación, ya que
- $f \in B[y]$
- $y-x \in B[y]$ , $y - x$ monic
- $f(y) = (y-x)h(y)$
de ello se desprende, por polinómica división en $K[y]$,$h(y) \in B[y]$.
Por lo tanto, todos los coeficientes de $h$$B$, como iba a ser mostrado.
