Actualmente estoy estudiando teoría de grupos y me he dado cuenta de que la mayoría de los conceptos que estudiamos son sólo definiciones sobre las que construimos la teoría. Entiendo que algunos teoremas son bonitos y no necesitan ninguna utilidad práctica para ser interesantes de estudiar.
Mi pregunta ahora es: ¿Cuáles son las motivaciones detrás de los siguientes conceptos:
Subgrupos normales
Grupos de permutación
Cosets derecho e izquierdo
Cualquier respuesta a esta pregunta va a ser escasa porque se podría escribir un libro sobre estos conceptos y por qué son importantes. Así que me limitaré a hacer unas breves menciones de por qué son importantes desde un punto de vista teórico (hubo algunas excelentes menciones de la importancia histórica en los comentarios).
El concepto de subgrupos normales y de cosets está vinculado. Una de las razones para estudiarlos es que es una forma de crear nuevos grupos a partir de los antiguos. También se puede aprender sobre el grupo a partir de su estudio.
Si $H$ es un subgrupo normal de $G$ entonces los cosets izquierdos (o derechos) de $G$ formar un grupo. La multiplicación es $(aH)(bH) = (ab)H$ . Esta es una gran razón por la que los subgrupos normales son importantes.
También es cierto que los subgrupos normales surgen como núcleos de homomorfismos de grupo. Si $\varphi: G \to G'$ es un homomorfismo de grupo, entonces $\ker(\varphi)$ es un subgrupo normal de $G$ . Además, todo subgrupo normal de $G$ es el núcleo de algún homomorfismo de $G$ a otro grupo.
Los grupos de permutación son un objeto matemático fundamental. Consideremos una función biyectiva de un conjunto $X$ a sí mismo. ¿Qué hace esta función? Permuta los elementos de $X$ .
Éste es sólo un ejemplo de las permutaciones que surgen de forma muy natural en las matemáticas. Otros lugares en los que los grupos de permutaciones surgen de forma muy bella y sorprendente son la teoría de los espacios de cobertura en la topología algebraica, las acciones de grupo (que son una excelente herramienta para el estudio de los grupos), la combinatoria (las permutaciones están por todas partes aquí), y muchos más.
Grupos de permutación.
Teorema. (Cayley) Dejemos que $G$ sea un grupo, entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S(G)$ .
Prueba. Dejemos que $g\in G$ y definamos el siguiente elemento de $S(G)$ : $$\sigma_g:\left\{\begin{array}{ccc}G &\rightarrow&G\\h&\mapsto&gh\end{array}\right.$$ La inversa de $\sigma_g$ es $\sigma_{g^{-1}}$ y en general $\sigma_{gg'}=\sigma_g\circ\sigma_{g'}$ . Definamos el siguiente morfismo de grupo: $$\varphi:\left\{\begin{array}{ccc}G&\rightarrow&S(G)\\g&\mapsto&\sigma_g\end{array}\right..$$ $\varphi$ es inyectiva, por lo tanto $\varphi$ es un isomorfismo entre $G$ y un subgrupo de $S(G)$ , a saber $\textrm{im}(\varphi)$ . $\Box$
Observación. En resumen, $G$ actúa sobre sí mismo por traslación a la izquierda y esta acción es fiel (incluso es una acción libre).
Observación. En cierto modo, este teorema nos dice que basta con entender los grupos de permutación.
Observación. Cuando $G$ es finito, este teorema nos dice que $G$ es un subgrupo de $S_n$ para un determinado $n$ .
En mi opinión, lo es. Los grupos de permutación surgen de forma natural y parece que cualquier grupo es un subgrupo de un grupo de permutación. Este comentario tuyo es bastante sorprendente. Ayer eras tú el que afirmaba que los números primos son interesantes porque son "ladrillos elementales para los enteros".
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
2 votos
Como muchas cuestiones interesantes, ésta podría abordarse tanto desde la perspectiva histórica (aplicaciones) como desde una perspectiva puramente matemática (teoría).
1 votos
La teoría de grupos comenzó más o menos cuando Galois resolvió (negativamente) el problema de encontrar fórmulas algebraicas para la ecuación general de grado $n$ . Tuvo la idea de considerar las permutaciones de las raíces (que entonces se llamaban sustituciones), demostró que éstas tenían lo que ahora se llama una estructura de grupo, y que, para que existieran tales fórmulas, este grupo debía tener ciertas propiedades que implicaban subgrupos normales, que no tenía en el caso general.