Esto es un poco áspero y listo, pero esperemos que podría ser arreglada. En primer lugar, como @señala pablo, debemos estar de acuerdo en qué entendemos por una distribución. Voy a ser un poco menos generosa y decir que es un objeto que actúa sobre las funciones de prueba a dar un número. Esta acción toma la forma $$<\Delta,u> = \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta(x)u(x) \,dx,$$
donde $\Delta$ es la distribución y el $u$ es una función de prueba, es decir, una función suave ($C^\infty$) que se desvanece fuera de algunos compacto. (Por lo tanto, hay un número de $K>0$ tal que $u$ y todos sus derivados son igual a cero para $|x|>K$.) También necesitamos estar de acuerdo en que si podemos definir las funciones de $\Delta_\epsilon, \epsilon>0$ con la propiedad de que
$$\lim_{\epsilon\to 0}<\Delta_\epsilon,u> \quad \hbox{exists for all test functions }\,u,$$
entonces decimos que la $\Delta=\lim_{\epsilon\to 0}\Delta_\epsilon$ es una distribución con $$<\Delta,u>=\lim_{\epsilon\to 0}<\Delta_\epsilon,u>.$$ (Estas son las definiciones estándar.)
Así que tomando su principal argumento de valor, definir, para $\epsilon>0$, $$\delta_\epsilon(x) = \int_{-\infty}^{x-\epsilon}\frac{dt}{t(t-x)}+\int_{x+\epsilon}^{+\infty}\frac{dt}{t(t-x)}.$$ podemos calcular que
$$\delta_\epsilon(x) = \frac{1}{x}\log\left|\frac{x+\epsilon}{x-\epsilon}\right|.$$ [Oops. This doesn't deal correctly with $x=0$, por lo que el resto de esta respuesta es bastante inútil.]
(Este - $\delta_\epsilon$ - es localmente integrable en $\mathbb{R}$, que es la condición necesaria de la 1-parámetro ($\epsilon$) de la familia de funciones de $\Delta_\epsilon$ por encima. Es decir, $\Delta_\epsilon$ no está obligado a ser un clásico de la función, lo cual es útil porque $\delta_\epsilon$ golpes en $x=\epsilon$. Sin embargo, el golpe es muy suave.)
Así que para el programa anterior para trabajar, tenemos que comprobar que (i) $<\delta_\epsilon,u>$ existe para todas las funciones de prueba de $u$; (ii) el límite de $\lim_{\epsilon\to 0}<\delta_\epsilon,u>$ existe. Si además podemos demostrar que este límite se evalúa a $cu(0)$ para algunas constantes $c$ y todas las funciones de prueba de $u$, entonces podemos legítimamente decir que $\delta=\lim_{\epsilon\to 0}\delta_\epsilon$ es de hecho igual a $c\delta_{Dirac}=c\times$ la delta de Dirac.
Así que la selección de una función de prueba $u$. Desde $u$ es suave todo el mundo, podemos aplicar Taylor teorema y escribir $$u(x)=u(0)+u'(0)x+\frac{u''(\xi_x)}{2}x^2,$$
donde $\xi_x$ depende continuamente en $x$. Entonces
$$<\delta_\epsilon,u> = I_1 + I_2 + I_3,$$
donde
\begin{eqnarray*}I_1&=&u(0)\int_{-\infty}^{\infty}\delta_\epsilon(x)dx,\\
I_2&=&u'(0)\int_{-\infty}^{\infty}x\delta_\epsilon(x)dx,\\
I_3&=&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{u''(\xi_x)}{2}x^2\delta_\epsilon(x)dx.\\
\end{eqnarray*}
Observe que $\delta_\epsilon$ es aún, por lo $I_2=0$ $I_1$ $I_3$ puede ser escrito como integrales sobre el positivo de la mitad de la línea. Ahora recuerdo que $u$ y sus derivados se desvanecen para todos los $|x|>K$. Deje $M$ ser el máximo de la derivada segunda de $u$$[-K,K]$. Entonces
$$|I_3|\leq M \int_0^K x^2\delta_\epsilon(x)dx =M\int_0^K x\log\left|\frac{x+\epsilon}{x-\epsilon}\right|dx.$$
Podemos evaluar esta manera explícita (poco de trabajo...) y demostrar que (i) existe para $\epsilon>0$ y (ii) se desvanece en el límite de $\epsilon\to 0$.
Sigue a lidiar con la integral de la $I_1$. Tenemos
\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty\frac{1}{x}\log\left|\frac{x+\epsilon}{x-\epsilon}\right| &=&
\int_0^\epsilon\frac{1}{x}\log\left(\frac{\epsilon+x}{\epsilon-x}\right) +
\int_\epsilon^\infty \frac{1}{x}\log\left(\frac{x+\epsilon}{x-\epsilon}\right)\\
&=& 2\int_0^1\frac{1}{t}\log\left(\frac{1+t}{1-t}\right)dt,\end{eqnarray*}
mediante el uso de $x=\epsilon t$ en la primera integral y $x=\epsilon/t$ en el segundo. Esta integral es finito, con valor de $c\simeq 4.93$ (probablemente algo mucho más elegante, pero esto es lo que Wolfram Alpha da).
Así que, para cualquier función de prueba de $u$, parece que
$$\lim_{\epsilon\to0} <\delta_\epsilon,u> = c u(0),$$
y entonces su integral es $c\delta_{Dirac}$.
