Propiedad de la extraña ordenó a los elementos de un Grupo

Question

Estoy (lentamente) trabajando a mi manera a través de "Álgebra Abstracta" por Dummit y Foote. En el primer conjunto de ejercicios de teoría de grupos, la siguiente pregunta se plantea:

"Vamos a $G$ ser un grupo finito y deje $x$ ser un elemento de $G$ orden $n$. Probar que si $n$ es impar, entonces $x = (x^2)^k$ algunos $k$."

Creo que he completado la prueba, pero en ningún momento he confiado (a mi conocimiento) en el hecho de que el grupo es finito. Tenga en cuenta que hay otros ejercicios en esta sección sobre grupos finitos, y me parece extraño que este se estipula en la pregunta. Que me lleva a creer que puede haber cometido un error o se me ha hecho la suposición de que sólo se aplica a los grupos finitos. La prueba siguiente bosquejo.

Cualquier número impar $n$ puede ser descompuesto en $2*j + 1$, para algunas de las $j$. Así, tomando los $k = j + 1$: $$\begin{align} x &= 1x \\ &= x^nx \\ &= x ^{2j + 1}x\\ &= x ^{2j + 2} \\ &= x ^{2(j + 1)} \\ &= (x ^{2})^{j+1} \end{align}$$

Edit: Para que quede claro, es mi prueba válida independientemente de si el grupo es finito o no? Si es así, ¿por qué el autor especifique la finitud?

Answer 1

La prueba es correcta. Para responder a su pregunta, sin embargo, vamos a demostrar que este resultado (sin tener en cuenta si es verdad o no), no puede ser cierto sólo para grupos finitos. En otras palabras, si es cierto para los grupos finitos, debe ser cierto para los infinitos grupos.

Deje $H$ ser un grupo de orden infinito, y deje $x \in H$ ser un elemento de orden impar $n$. Deje $G = \langle x \rangle$. A continuación, $x$ es una extraña orden de los elementos de un grupo finito (es decir,$G$). Por lo tanto, si el resultado se mantiene para un grupo finito, tiene infinidad de grupo.

Answer 2

La prueba es correcta, y muy agradable!

Se preguntó por qué la pregunta fue formulada de esta manera. De hecho, podría haber sido escrito de manera diferente:

"Vamos a $G$ ser un grupo y supongamos $x$ es un elemento de orden $n < \infty$. Probar que si $n$ es impar, $\ldots$"

(Si se asume que el $G$ es finito, como los autores, entonces usted sabe automáticamente que cada elemento tiene orden finito, y usted no tiene que escribir $n< \infty$ explícitamente. Es de suponer que los autores encontraron su fraseo más elegante de lo que he escrito, o estilísticamente preferible de alguna manera.)

Y tienes razón que nunca se utiliza el hecho de que $G$ era finito. Sin embargo, el elemento $x$ explícitamente, se supone que tienen finito de orden, que es equivalente a decir que el subgrupo cíclico $\langle x \rangle$ tiene sólo un número finito de elementos. Así que aunque el grupo $G$ podría haber sido igual de bien infinito, el subgrupo $\langle x \rangle$ es, sin duda finito.

Una manera de pensar acerca de este problema es que es realmente un teorema acerca de finito de grupos cíclicos. Por supuesto, un finito cíclico grupo podría ser un subgrupo de una mucho más grande (posiblemente infinita) de grupo, pero el teorema de la realidad no tiene nada que ver con el gran ambiente de grupo. De hecho, la prueba muestra muy claramente, ya que el único grupo de elementos que aparecen en la prueba son potencias de $x$.

Answer 3

He aquí una explicación de lo que está pasando.

Si $n$ es impar, entonces el mapa de $g \mapsto g^2$ es inyectiva en el subgrupo cíclico generado por $x$ (*). Desde este subgrupo es finito, el mapa es entonces surjective y por lo $x=(x^k)^2=(x^2)^k$.

(*) De hecho, si $(x^r)^2=(x^s)^2$$2r\equiv 2s \bmod n$. Desde $n$ es impar, podemos cancelar $2$ y consigue $r\equiv s \bmod n$, lo que implica $x^r=x^ˆs$.