Estoy intentando demostrar que los racionales no son la intersección contable de conjuntos abiertos, pero sigo sin entender por qué
$$\bigcap_{n \in \mathbf{N}} \left\{\left(q - \frac 1n, q + \frac 1n\right) : q \in \mathbf{Q}\right\}$$
no es un contraejemplo. ¿Alguna idea? Gracias.
Si por $\{ (q-1/n, q+1/n): q\in \mathbf{Q}\}$ quieres decir $$ \bigcup_{q\in\mathbf{Q}} (q-1/n, q+1/n) $$ encontrará que para cada $n$ ese conjunto es igual a $\mathbf{R}$ independientemente de $n$ . Así que la intersección que has escrito es igual a $\mathbf{R}$
La prueba habitual de que $\mathbf{Q}$ no es una intersección contable de conjuntos abiertos utiliza el Teorema de la Categoría de Baire. Los números irracionales se pueden escribir como una intersección contable de subconjuntos abiertos y densos:
$$ \mathbf{R}\setminus \mathbf{Q} = \bigcap_{q\in \mathbf{Q}} \mathbf{R}\setminus\{q\} $$
Desde $\mathbf{Q}$ es denso, cualquier conjunto abierto que lo contenga será necesariamente un subconjunto abierto denso de $\mathbf{R}$ . Así que si $\mathbf{Q}$ pudieran escribirse como una intersección contable $\cap_{n\in \mathbf{N}}A_n$ con cada $A_n$ abierto, $\mathbf{Q}$ sería una intersección contable de subconjuntos abiertos y densos de $\mathbf{R}$ .
Pero entonces tendríamos $$ \emptyset = (\mathbf{R}\setminus\mathbf{Q}) \cap \mathbf{Q} $$ es una intersección contable de subconjuntos densos abiertos, lo que contradice la Teorema de la categoría Baire .
¿Qué pasa con $\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{\infty} \left( q_k - \frac1{2^{k+n}},q_k + \frac1{2^{k+n}} \right)$ ? Para cada fijo $n$ la unión no es $\mathbb{R}$ ya que la longitud de cada unión es $\frac1{2^{n-1}}$ .
La forma correcta de hacerlo es mediante el Teorema de la Categoría Baire, pero puede ser útil dar también una construcción más o menos explícita. Sea $U_n, \ n=1,2,\ldots$ sea una secuencia de conjuntos abiertos, cada uno de los cuales contiene los racionales $\mathbb Q$ . Encontraré un miembro de $\bigcap_{n=1}^\infty U_n$ que no está en $\mathbb Q$ . Sea $r_n, \ n=1,2,\ldots$ sea una enumeración de los racionales. Construiré dos secuencias $a_n$ y $b_n, \ n= 1,2,\ldots$ tal que $a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n$ , $(a_n, b_n) \subset U_n$ y $r_n \notin (a_n, b_n)$ . En concreto, dado $a_n$ y $b_n$ podemos encontrar un $c \ne r_{n+1}$ en $(a_n, b_n)$ y tomar $a_{n+1} = c - \delta$ y $b_{n+1} = c + \delta$ donde $\delta>0$ es lo suficientemente pequeño como para que $(c-\delta, c+\delta) \subset U_{n+1}$ , $c - \delta > a_n$ , $c + \delta < b_n$ y $\delta < |r_{n+1} - c|$ . Ahora la secuencia $a_n$ está acotada por arriba y es creciente, por lo que tiene un límite $L$ . Por construcción, $L \in (a_n, b_n) \subset U_n$ para cada $n$ es decir $L \in \bigcap_{n=1}^\infty U_n$ Además, $L \ne r_n$ para todos $n$ Así que $L \notin \mathbb Q$ según sea necesario.
¡Bien hecho! Creo que para los principiantes, una construcción explícita -suponiendo que no sea demasiado complicada y fea- es mucho más informativa que la gran maquinaria del análisis moderno.
@Robert Israel Señor La prueba es elegante. Pero tengo una duda. Usted ha construido una secuencia anidada de intervalo abierto. $(a_n,b_n)$ Pero ¿Cuál es el argumento para demostrar que hay intersección infinita debe ser no vacío? Porque sólo conozco el Teorema de la Intersección de Cantor que habla del intervalo cerrado acotado no vacío.
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¿Te refieres a escribir $ \displaystyle\bigcap_{n \in \mathbf{N}} \displaystyle\bigcup_{q\in \mathbb{Q}} (q - 1/n, q + 1/n)$ ?
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Si es así, la intersección es igual a $\mathbb{R}.$
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Si no es así, está tomando la intersección de un montón de conjuntos disjuntos por pares de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}.$
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Posible duplicado de Prueba de que $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ No es un $F_{\sigma}$ Establecer