Quiero entender por qué asumiendo que $\sum_{n \ge 1} \frac{a_n}{n^s}$ converge uniformemente para $\mathrm{Re}(s) > \sigma > 0$ con $c > \sigma$ implica que $$ \sum_{n \le x} \, \!\!^* a_n = \frac 1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \sum_{n \ge 1} \frac{a_n}{n^s} \frac{x^s}{s} \, ds. $$ He conseguido demostrar que para $c > 0$ , $$ \frac 1{2\pi i}\int_{c-i \infty}^{c + i \infty} \frac{y^s}s \, ds = \begin{cases} 0 & \text{ if } 0 < y < 1 \\ 1/2 & \text{ if } y = 1 \\ 1 & \text{ if } y > 1 \\ \end{cases} $$ por lo que podemos escribir $$ \sum_{n \le x} \, \!\!^* a_n = \frac 1{2\pi i} \sum_{n \ge 1} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} a_n \left( \frac xn \right)^s \frac{ds}s \overset{!}{=} \frac 1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \sum_{n\ge 1} \frac{a_n}{n^s} \frac{x^s}s \, ds. $$ Pero eso $!$ que he puesto ahí significa que no entiendo por qué la suma puede ir por debajo del signo integral. ¿Alguna idea sobre esa parte? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Incluso la identidad básica, sobre la integración de $y^s/s$ en una línea vertical, requiere una calificación para ser realmente sensible, ya que la integral no es ciertamente absolutamente convergente. Una forma de ser completamente franco al respecto es calcular $\int_{c-iT}^{c+iT} {y^s\over s}\,ds$ y llevar la cuenta del error (de las respuestas ideales que da) en términos de $y$ y $T$ . Una integral de extensión finita puede ciertamente se intercambia con la suma sobre $n$ . Entonces la suma de las series de Dirichlet da un error estimable, que va a $0$ como $T$ va a $+\infty$ .
