Contables de Base y una multitud Innumerable

Question

Deje $X$ tiene una contables; deje $A$ ser un incontable subconjunto de $X$. Muestran que una cantidad no numerable de puntos de $A$ límite de puntos de $A$.

Aunque me parece que esta pregunta sobre el MSE, creo que mi prueba es suficientemente diferente; y yo creo que es correcto, pero supongo que voy a ser el juez. Sin embargo, estoy teniendo problemas para justificar un paso, el cual indico al final de mi prueba:

Supongamos que $X$ tiene una contables base $\mathcal{B}$ (es decir, que es segundo contable, y deje $A$ ser algunos de los innumerables subconjunto de $X$. A continuación, $X$ también debe ser el primero contables que significa que cada punto de $x$ tiene una contables base $\mathcal{B}_x$. Deje $x \in A-E$ $\mathcal{B}_x$ sus asociados. Tenga en cuenta que $\bigcup_{x \in A} \mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{B}$ es un incontable de la unión de conjuntos contables contenidos en una contables set, lo cual es una contradicción, a menos que exista una $z \in A$ tal que $\mathcal{B}_y = \mathcal{B}_z$ por una cantidad no numerable de $y \in A$. Dejando $E$ denotar la recogida de $y$, es claro que $E$ se compone de algunos de $A$'s de límite de puntos: por si $y \in E$, e $B \in \mathcal{B}_y$ es arbitrario, entonces $z \in B$ y, por tanto, $B \cap (A - \{y\})$ no está vacío.

En la BMV sala de chat, Ted Shifrin me informó que significa que un incontable de la unión de conjuntos contables estén contenidos en una contables conjunto implica, al menos, uno de los conjuntos de la unión se produce una cantidad no numerable de veces, lo que me llevó a decir que existe un $\mathcal{B}_x$ tal que $\mathcal{B}_y = \mathcal{B}_x$ por una cantidad no numerable de $y \in A$. ¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

No puede ser el caso de que $\mathcal{B}_x = \mathcal{B}_y$ $x \neq y$ $T_0$ espacio: en ese caso, algunos $O$ existe tal que $x \in O, y \notin O$ (o al revés) y no hay elemento de $\mathcal{B}_y$ puede estar contenida en $O$, pero algunos elementos de $\mathcal{B}_x$ debe ser, por lo $\mathcal{B}_x \neq \mathcal{B}_y$.

Su enfoque debe ser cambiado.

Deje $N$ ser el conjunto de puntos de $A$ que no límite de puntos de $A$ (la multitud innumerable). Así, para cada $x \in N$ tenemos algún conjunto abierto $O$ tal que $x \in O$$O \cap A = \{x\}$, y podemos elegir un elemento de base $B_x \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_x \subseteq O$$B_x \cap A = \{x\}$. Para $x \neq y$ esto implica $B_x \neq B_y$. Por lo que el mapa de $x \to B_x$ es 1-1 de $N$ $\mathcal{B}$y el segundo es un contable establecido, por lo $N$ es en la mayoría de los contables. De ello se desprende que $A \setminus N$ es el incontable subconjunto de $A$ que son límite de puntos.

Answer 2

Siguiente Henno la respuesta tengo una explícita contra-ejemplo.

Tome $\mathbb{R}$ con el estándar de la topología, y $\mathcal{B}$ todos los intervalos de $(q,p)$$q,p\in\mathbb{Q}$, esta es una contables.

Para cada $x$, $\mathcal{B}_x$ es el conjunto de intervalos de $(q,p)$$q<x<p$. Que es contable.

Tome $A=(0,1)$, entonces para cada a $x\in A$ que $\mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{B}$ (obviamente). Y $\bigcup_{x\in A} \mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{B}$, pero no $\mathcal{B}_x = \mathcal{B}_y$ porque si $x\not = y$, entonces usted puede tomar $q,p$ lo suficientemente cerca de a $x$ tal que $(q,p)$ contiene $x$ pero no contendrá $y$, en particular,$(q,p)\in \mathcal{B}_y$, pero no en $\mathcal{B}_x$.