Conjugado elemento

Question

Deje $G$ ser un grupo de orden $2014$. Deje $\theta\in G$ tal que $|\theta|=19$ $\alpha\in G$ tal que $|\alpha|=2$. Mostrar que $\alpha\theta\alpha=\theta^{\pm1}$. Puesto que el orden de $\alpha$ 2 yo sé que $\alpha=\alpha^{-1}$ $\alpha\theta\alpha=\alpha^{-1}\theta\alpha$ por lo que el elemento es conjugado a $\theta$ y el atc debe ser $\theta^x$ para algún entero positivo x tal que $0<x<19$ (yo ya mostraron que el grupo generado por $\theta$ es un único sylow p-grupo en $G$). Me gustaria una sugerencia sobre cómo continuar a partir de aquí

Answer 1

Sugerencia: ¿Qué es el grupo de automorphims de $\mathbb Z/19\mathbb Z$? (O al menos lo siguiente: ¿Cuál es el orden?)

Hay $18$ automorfismos de a$\mathbb Z/19\mathbb Z$:$1\le k\le 18$, obtenemos un de $1\mapsto k$. Entre estas es $x\mapsto x^{-1}$, que es del orden de $2$ (porque $18=2\cdot 9$) es la única automorphism de orden $2$. Desde conjugación con $\alpha$ es un automorphism de orden en la mayoría de las $2$, la demanda de la siguiente manera.