Encuentra el mínimo número de $x$ tal que $ 11$ divide $x$ y la suma de sus dígitos $S(x)$$27$.

Question

Encuentra el mínimo número de $x$ tal que $ 11$ divide $x$ y la suma de sus dígitos $S(x)$$27$.

Desde $S(999)=27 $ es evidente que el número de dígitos $n>3.$ Deje $x_i$ ser dígitos entonces tenemos dos ecuaciones \begin{cases} x_1+x_2+\cdots+x_n=27=5 \mod 11,\\ x_1+x_3+x_5+\cdots=x_2+x_4+\cdots \mod 11. \end{casos} De ello se sigue que $2(x_2+x_4+\cdots+)=5 \mod 11$ o $$ x_2+x_4+\cdots = 8 \mod 11. $$ Para el caso de $n=5$ se reduce a $x_2+x_4=8$ y me las arreglo para recoger la solución $10989.$

Hay una mejor solución?

Answer 1

Desde $\sum x_i=27$, $\sum (-1)^{i-1}x_i=27-2(x_2+x_4+\cdots)$ debe ser impar y múltiplo de $11$, y por lo tanto cualquiera de las $11$ o $-11$ (debe ser de entre $-27$$27$.)

Si $\sum (-1)^{i-1}x_i=11$$x_1+x_3+\cdots = 19, x_2+x_4+\cdots = 8$. La única manera de conseguir $19$ es con tres dígitos, $(x_1,x_3,x_5)=(1,9,9)$ produciendo el menor de los valores en orden lexicográfico. A continuación, $x_2+x_4=8$ $(0,8)$ para los más pequeños orden lexicográfico.

Así que usted consigue $10989$.

Si $\sum (-1)^{i-1}x_i=-11$,$x_2+x_4+\cdots = 19$, por lo que no debe ser de al menos $6$ dígitos.

Answer 2

Cuando $n = 5$, $10989$ ya es el menos solución al problema.

En primer lugar, al $n \le 4$, no existe ninguna solución. Para $n = 3$, podemos deducir, a partir de la suma de los dígitos $S(x) = 27$ que $x = 999$, que no es un múltiplo de a $11$. Para$n=4$,$x_2 + x_4 \equiv 8 \pmod{11}$.

Ya que cada dígito es un número entero de $0$ $9$incluido, tenemos $$0 \le x_n \le 9 \forall n \in \Bbb N^*,$$

de la que podemos deducir que el $x_2 + x_4 = 8$. Debido a la suma de los dígitos $S(x) = 27$,$x_1 + x_3 = 19 > 18$, lo cual es claramente falso.

Llegamos a la conclusión de que no existen soluciones al $n \le 4$.

Ahora volvemos a $n = 5$. Nos ha dado el número de $10989$ que satisface las condiciones dadas, y esperamos demostrar que es el mínimo de la solución al problema. A partir de la condición en la OP $$x_2+x_4 (+\cdots) = 8 \pmod{11}.$$ and by observing the second and fourth digit, $0$ and $8$ are already the best combination. Since it's a five digit number, the leftmost digit is at least one. So we're left with two digits. By considering the sum of digits $S(x) = 27$, we know that the sum of the remaining two digits are $27 - 1 - 8 = 18$. This forces us to choose $9$ for the remaining two digits. Therefore, $10989$ ya es el menor número natural satisfacer las condiciones dadas en el OP.