El título lo resume todo. Es fácil de demostrar, pero me pregunto si hay una interpretación geométrica?
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MyPreciousss
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Desde cada una de las $x$-slice ha firmado-área de $f(x)\int_c^d g(y)dy$ solo podemos decir $\int_c^d g(y)dy=I$, por lo que el área de la $x$divisiones del volumen en cuestión es sólo $I\cdot f(x)$. Para encontrar el volumen sólo tenemos que añadir el volumen de los infinitesimales rodajas $I \cdot f(x) dx$$x=a$$x=b$, con lo que $$\iint_{R} f(x)g(y) \ dA = \int_a^b I \cdot f(x) \, dx = I\int_a^b f(x) \, dx = \int_c^d g(y) \, dy \int_a^b f(x) \, dx. $$ Me gustaría dar más geométrica respuesta, sospecho que hay algo más que decir aquí. Por qué, geométricamente, es el volumen del producto de estas áreas particulares? De hecho, ahora que me dicen que, es extraño.
David K
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19172
Considere la posibilidad de una interpretación geométrica de la mucho más simple expresión, $f(a)g(c)$. La interpretación habitual es que tenemos la línea de segmentos de longitudes $f(a)$$g(c)$, respectivamente, y se construye un rectángulo utilizando copias de los dos segmentos adyacentes lados del rectángulo.
El rectángulo puede ser en cualquier orientación, pero a la hora de representar un conjunto de productos de $f(x)g(y)$ para los distintos valores de $x$$y$, podemos arbitrariamente decir que voy a orientar los rectángulos para que todos los $f(x)$ lados son paralelos a los de los otros rectángulos y todas las $g(y)$ lados son paralelos.
Ahora vamos a considerar la interpretación geométrica de la integral $\int_a^b f(x) \,dx$. A menudo vamos a pensar de esta función graficados en la $x,y$ plano, es decir, vamos a establecer $y = f(x)$, pero como vamos a ser la combinación de $f(x)$ con una función de $y$ más tarde, el $x,y$-plano de la interpretación es un callejón sin salida, así que en lugar de establecer $z = f(x)$ y el gráfico de la función en el $x,z$-plano. Entonces la integral puede ser interpretado considerando todos los distintos planos de las regiones que figuran entre la curva de $z = f(x)$ e las $x$-eje (la curva de $x = 0$): sume todas estas regiones que están "por encima" de las $x$-eje, y a partir de este resultado, reste todas estas regiones que están "debajo" de la $x$-eje.
Una similar interpretación geométrica puede ser de $\int_c^d g(y) \,dy$, excepto, por supuesto, ahora las regiones para sumar o restar están "arriba" o "abajo" de la $y$-eje en lugar de la $x$-eje.
Pero tenemos que evitar caer en la trampa de la visualización de un gráfico de $z = g(y)$ $y,z$- plano, porque eso haría que todos los $g(y)$-longitud de los segmentos paralelos a todos los $f(x)$-longitud de los segmentos en $x,y,z$-espacio, mientras que al visualizar $f(x)g(y)$ queríamos que el $g(y)$-longitud del segmento a ser perpendicular a la $f(x)$-longitud del segmento. Así que realmente queremos gráfico de $g(y)$ en una dirección que no es sólo perpendicular a $y$, y no en el $x,y$-plano; de hecho, queremos que es perpendicular a $x$$z$.
En otras palabras, estamos obligados a una cuarta dimensión. Digamos que ahora estamos en el $x,y,z,w$-en el hiperespacio, por lo que podemos visualizar $\int_c^d g(y) \,dy$ por el trazado de $w = g(y)$ $w,y$- plano.
A continuación, para cada una de las $x \in [a,b]$, y para cada una de las $y \in [c,d]$, tenemos un segmento de longitud $f(x)$ paralelo a la $z$-eje, con un extremo en $(x,0,0,0)$ y el otro a $(x,0,f(x),0)$; también tenemos un segmento de longitud $g(y)$ paralelo a la $w$-eje, con un extremo en $(0,y,0,0)$ y el otro a $(0,y,0,g(y))$. Proyectamos estos dos segmentos paralelos a la $x,y$-avión en segmentos, cada uno de los extremos en el punto de $(x,y,0,0)$. Estos proyectado segmentos de los lados de un rectángulo paralelo a la $w,z$-plano, y el área de ese rectángulo es $f(x)g(y)$.
Ahora tomamos las cuatro dimensiones del objeto compuesto de todos los rectángulos para todos los valores de $(x,y) \in [a,b]\times[c,d]$, y podemos interpretar la integral de la $\int_a^b \int_c^d f(x) g(y) \,dy\, dx$ neto de cuatro dimensiones, el volumen obtenido por la adición de la hypervolumes de todas las partes de este cuatro dimensiones objeto de que el proyecto en el primer o tercer cuadrante de la $w,z$-plano (es decir, $wz > 0$) y restando el hypervolumes de todas las demás partes. En otras palabras, tenemos en cuenta todos los puntos con $wz > 0$ estar "por encima" de la $x,y$-plano, así como la hora de interpretar $\int_a^b f(x) \,dx$ $x,z$- plano tenemos en cuenta todos los puntos con $z > 0$ estar "por encima" de la $x$-eje.
Una definición más formal de las cuatro dimensiones del objeto como un subconjunto de a $\mathbb{R}$ ya ha sido ofrecido, de modo que no voy a repetir esa definición, pero la interpretación de un objeto en el caso de que $f$ $g$ no son no-negativos funciones ahora debe ser claro.
mweiss
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6697
Esta es una muy buena pregunta, precisamente porque la primera vez que mire usted piensa "Oh, eso es trivial" -- y entonces te das cuenta de que no, espere un minuto, hay algo raro aquí, después de todo. (Véase también la última frase de James Cook es la respuesta y los comentarios sobre ella.)
Para obtener un control sobre esto, vamos a considerar un caso muy simple: Supongamos $f$ $g$ son tanto las constantes de funciones; de hecho, vamos a ser muy específicos y decir $f(x)=3$$g(x)=2$. (Si podemos comprender lo que sucede para el caso de la constante de funciones, que probablemente será capaz de extender esa interpretación para el caso general, por el pensamiento de las integrales de Riemann como un montón de pequeñas infinitesimal "torres" en el $xy$-avión).
Además, vamos a decir $[a,b]=[0,5]$$[c,d]=[0,7]$.
Ahora, podemos interpretar $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ como un rectángulo de 5 x 3 (zona 15), $\int_c^d g(y) \, \mathrm{d}y$ 7 x 2 rectángulo (zona 14), y $\int_a^b \int_c^d f(x)g(y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x$ como un sólido rectangular con una de 5 x 7 base y una altura de 6 (volumen = 210). Así que tu pregunta es:
Podemos de alguna manera de "ver" el 5 x 7 x 6 sólido rectangular como el producto de 5 x 3 rectángulo y el 7 x 2 rectángulo?
Después de haber pasado por todo esto, creo que la respuesta (¡sorpresa!) es No, al menos no de forma natural. Y he aquí por qué:
Usted puede haber notado que algo raro está pasando con nuestra dimensiones, o a nuestras unidades, si usted prefiere pensar de esa forma. Supongamos $x,y,f(x)$ $g(y)$ todos tienen dimensiones de longitud. En ese caso $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ $\int_c^d g(y) \, \mathrm{d}y$ cada uno tiene dimensiones de área (longitud de$^2$), y $\int_a^b \int_c^d f(x)g(y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x$ debe tener dimensiones de longitud$^4$... pero por alguna razón estamos visualizando como un volumen.
Y que, allí, nos señala lo que está mal con nuestro programa de instalación, y la razón por la que no se puede interpretar geométricamente la doble integral como un producto de dos integrales: La función de $f(x)g(y)$ tiene dimensiones de área, pero cuando lo interpretamos como la altura de una superficie por encima de la xy-avión, somos trazado como si se tratara de una longitud. Si pudiéramos visualizar cuatro dimensiones, veríamos $\int_a^b \int_c^d f(x)g(y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x$ así: A cada punto en el 5 x 7 rectángulo sobre el que estamos integrando, se adjunta no 6-unidad de altura vertical del segmento de línea, sino más bien un 2 x 3 área rectangular (de las dos dimensiones ortogonales a la $xy$-plane). Así que todo sería igual a 5 x 7 x 2 x 3, en cuatro volúmenes, que podría ser fácilmente reconocido como el producto de los dos 5 x 3 y 7 x 2 rectángulos. Pero debido a que no podemos visualizar cuatro dimensiones, vamos a reemplazar el 2 x 3 rectangular con un área de 6 unidades de altura segmento de línea. Al hacerlo, estaremos "smoosh" 4-dimensional hypersolid hasta un 3-dimensional sólido. El colapso de dos dimensiones en una mezcla de dos dimensiones independientes, de modo que ya no podemos ver claramente la relación entre los dos rectangular factores y sus cuatro dimensiones del producto.
Ahora ir a leer a David K la respuesta, que creo que es un buen complemento a la mía.
Michael Steele
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345
Considerar el subconjunto de $\Bbb R^4$ definido por $X = \{ (x,y,u,v) \mid x \in [a;b], y \in [c;d], u \in [0 ; f(x)], v \in [0 ; g (y)]\}$.
Esto se parece a una familia de rectángulos $[0 ; f(x)]\times[0;g(y)]$ indexados por dos coordenadas $x,y$.
Para obtener la medida de esta $4$-de la forma tridimensional, usted puede hacer algunos de integración estándar y encontrar $\int_x \int_y \int_u \int_v 1_X(x,y,u,v)\; dv \,du\,dy\,dx = \int_a^b \int_c^d \int_0^{f(x)} \int_0^{g(y)} 1\; dv \,du\,dy\,dx = \int_a^b \int_c^d f(x)g(y) \;dy \,dx$.
También puedes notar que $X$ es el producto cartesiano de a $Y = \{(x,u) \mid x \in [a;b], u \in [0 ; f(x)]\}$ $Z = \{(y,v) \mid y \in [c;d], v \in [0 ; g(y)]\} $
De manera que la medida de $X$ es el producto de las medidas de los dos conjuntos, que usted puede ver fácilmente a ser $(\int_a^b f(x)dx) (\int_c^d g(y) dy)$ ($Y$ y $Z$, literalmente, las áreas bajo las curvas de $f$$g$)
CodingBytes
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102
Para la interpretación geométrica de la fórmula en el título de la pregunta suponga $$f(x)\geq0\quad(a\leq x\leq b),\qquad g(y)\geq0\quad(c\leq y\leq d)\ .$$ Entonces las integrales de $\int_a^b f(x)\ dx$ $\int_c^d g(y)$ puede ser visto como áreas de las dos formas $$A:=\{(x,u)\ |\ a\leq x\leq b, \ 0\leq u\leq f(x)\},\quad B:=\{(y,v)\ |\ c\leq x\leq d, \ 0\leq v\leq g(y)\}\ .$$ The four dimensional volume of the cartesian product $X:=A\times B$ es igual a $${\rm vol}_4(X)={\rm vol}_2(A)\cdot{\rm vol}_2(B)\ ,$$ tanto como el área de un rectángulo es la anchura veces la altura. Por otro lado $X$ puede ser visto como asociar a cada punto de $(x,y)\in[a,b]\times[c,d]$ un rectángulo de anchura $f(x)$ y la altura de la $g(y)$ señalando en cuatro dimensiones del espacio. El volumen de $X$ se calcula como $${\rm vol}_4(X)=\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x)\>g(y)\ {\rm d}(x,y)\ ,$$ tanto como el área de $A$ se calcula como:$\int_a^b f(x)\ dx$.
Al $f$ $g$ puede tomar valores negativos, así como la idea de "firmado" áreas o volúmenes, no es muy útil. Su más conveniente para argumentar en una algebraico forma, haciendo uso de la "totalmente producto Cartesiano situación" aquí. Se ve entonces que, aparte de la convergencia de las preguntas, no solo es la ley distributiva en el trabajo.
Considere la posibilidad de una partición de $[a,b]$ en subintervalos $P_j$ de la longitud de la $\lambda(P_j)$, y del mismo modo una partición de $[c,d]$ en subintervalos $Q_k$ de la longitud de la $\lambda(Q_k)$. A continuación, los rectángulos $R_{j,k}:=P_j\times Q_k$ tienen área $\mu(R_{j,k})=\lambda(P_j)\lambda(Q_k)$, y juntos forman una partición de $[a,b]\times[c,d]$.
Elegir los puntos de muestreo $\xi_j\in P_j$$\eta_k\in Q_k$. Poner a $fg=:h$ entonces tenemos la exacta igualdad $$\sum_{j,\>k}h(\xi_j,\eta_k)\mu(R_{j,k})=\sum_{j,\>k}f(\xi_j)g(\eta_k)\>\lambda(P_j)\lambda(Q_k)=\sum_jf(\xi_j)\lambda(P_j)\ \sum_k g(\eta_k)\lambda(Q_k)\ .$$ Las sumas que aparecen en el lado izquierdo y derecho de esta ecuación se puede observar como las sumas de Riemann para las integrales en el título de la pregunta, y como los dos lados son siempre iguales a sus límites tienen que ser iguales, demasiado.
