Número de continuo $[0; 1] \to [0; 1]$ funciones de determinada longitud de arco

Question

Sólo por pura curiosidad ...

Supongamos que quiero conectar los dos puntos $(0,0)$ $(1,1)$ con la gráfica de alguna función continua y diferenciable

$$f : [0; 1] \to [0; 1]$$

y deje $s$ ser la longitud de arco de la función en $[0; 1]$.

Por supuesto, la función con el mínimo de $s$ que satisface las condiciones anteriores es$f(x) = x$$s = \sqrt 2$. Así, por $s = \sqrt 2$, exactamente una función de comparación se puede encontrar.

Pero ¿qué sucede con el número de estas funciones si $s$ aumenta?

Seguramente, más de las funciones para que coincida con el dado de longitud de arco - una cantidad no numerable de más supongo que debido a la naturaleza de los números reales.

Pero, intuitivamente, me gustaría pensar que el número de tales funciones y crece aún más el mayor $s$ pasa, ya no hay más "espacio" de la gráfica puede utilizar.

Así que, a pesar de la continuidad de la cardinalidad, ¿hay alguna manera de medir el número de tales funciones en contra de $s$ o es todo de la misma una vez que la mínima camino de $f(x) = x$ lo ha tomado?

Y que este cambio si hemos limitado las formas de construcción de tales funciones, por ejemplo, algunas de primaria?

Answer 1

Probablemente se trata de un sofisticado respuesta a esto, permítanme mencionar sólo un sencillo. Varios de los discretos análogos de la pregunta que usted pregunte a exhibir el comportamiento deseado. Considere, por ejemplo, el problema de encontrar un camino de $(0, 0)$ $(n, n)$en el entramado $\mathbb{Z}^2$ donde la única permitida pasos son entre en diagonal al lado de la celosía puntos. Deje que la longitud de una ruta de acceso el número total de pasos. Luego, por supuesto, sólo hay un camino de longitud $n$, de los cuales el más evidente es el de la diagonal. Sin embargo, hay ${n+2 \choose 2} + n$ caminos de longitud $n+2$, que ya es un gran salto.

La respuesta general puede ser calculada de la siguiente manera. En un camino de longitud $n+2k$ tenemos que elegir el $2j$ de los pasos para estar a la izquierda o a la derecha (para algunos $j$$0$$k$) y tenemos que elegir el $n+2k-2j$ de los pasos para estar a la derecha o abajo-izquierda. De la primera serie de pasos, la mitad deben ser de un tipo y de la mitad deben ser los otros, y de la segunda serie de pasos, $n+k-j$ deben ser de un tipo y $k-j$ necesario para ser el otro. Esto da el número total de caminos de longitud $n+2k$

$$\sum_{j=0}^{k} {n+2k \choose 2j} {2j \choose j} {n+2k-2j \choose k-j}.$$

El dominante término al $n$ es grande en comparación a $k$ es el término asociado a$j = k$, ${n+2k \choose 2k}$ y, por tanto, crece asintóticamente como $\frac{n^{2k}}{(2k)!}$. Así que, de nuevo, en $n$ es grande en comparación a $k$, es cierto que el número de posibles caminos crece con la longitud de la trayectoria.

Answer 2

Aquí está mi opinión sobre una respuesta intuitiva:

Desde allí se $2^{\aleph_0}$ continuo de las funciones de la unidad de intervalo de sí mismo, es claro que no puede haber más que muchas de las funciones.

Ahora bien, dado $s > \sqrt{2}$ (que como bien observó la distancia mínima), definimos $t = s - \sqrt{2}$ cualquier $x\in (0,1)$ podemos construir una función que tiene la quería longitud de arco, simplemente por "tirar" el valor de $f(x)$ sin problemas en un camino que se extiende la longitud del arco por $t$.

(La construcción es muy clara cuando no se solicita el $f$ a ser diferenciable, como se puede pegarse un triángulo en la longitud adecuada, sin embargo, la idea debe ser clara)

Así que usted tiene por lo menos $|(0,1)| = 2^{\aleph_0}$ funciones como tal, lo que significa que usted tiene exactamente esa cantidad.