Explicar Por Qué La ${21 \choose 2}^2 - {21 \choose 2} = 3!{22 \choose 4}$

Question

Me dieron este pequeño problema para precalc la tarea después de una discusión en clase sobre la serie y la notación sigma, y la aplicación de enfoques combinatorios. Llegamos a la ecuación de un problema más grande que nosotros estábamos haciendo, y el maestro se sorprendió de que era cierto y se sospecha que podría haber un subyacente combinatoria explicación para ella, que él nos desafió a encontrar. Sospecho que podría tener algo que ver con el Palo de Hockey Teorema, que había explorado anteriormente en clase.

Answer 1

Una más de la combinatoria de vista:

Supongamos que usted tenía 21 personas. Usted puede, a continuación, el formulario de $21\choose 2$ desordenada pares de personas, que para el resto de la respuesta, voy a llamar a un emparejamiento. Supongamos que se desea contar el número de pares ordenados de emparejamientos de tal manera que los dos emparejamientos no son de la misma (se puede compartir a una persona, pero no más).

Una manera de hacer esto es tener en cuenta que hay $21\choose 2$ posibles emparejamientos, por lo que el número de pares ordenados de diferentes emparejamientos es $\left({21\choose 2}\right)\left({21\choose 2} -1\right)$. Este es el lado izquierdo de la ecuación.

Una manera diferente es el siguiente: introducir a una persona adicional X que no será parte de los emparejamientos en la final, y simplemente elegir 4 personas desde el grupo resultante de 22. Ahora forma el par ordenado de emparejamientos de la siguiente manera:

• Si la persona X no está entre los 4 elegidos, a continuación, simplemente seleccione 2 para estar en el primer emparejamiento, dejando a los otros 2 en el segundo emparejamiento. Hay ${4\choose 2} = 6$ maneras de hacer esto.
• Si la persona X es entre los 4 elegidos, a continuación, elija uno de los 3 otros para estar al tanto de emparejamientos, y aleatorizar el orden de los otros 2. Hay $3\times 2 = 6$ maneras de hacer esto.

Es bastante fácil ver que este proceso de selección de los rendimientos de todos los pares ordenados de emparejamientos, ya que siempre hay al menos 3 personas distintas entre cualquier par ordenado de emparejamientos. El número de formas de realizar este proceso de selección es ${22\choose 4}\times 6$, que es su mano derecha.

La sustitución de $21$ $n$ $22$ $n+1$ rendimientos más general resultado.

Answer 2

La identidad general detrás de su resultado:

$$ \forall n \in \mathbb{N} \ \ \dfrac{n(n - 1)}{2}\left(\dfrac{n(n - 1)}{2} - 1\right) = \dfrac{(n + 1)n( n - 1)(n - 2)}{4}$$

Answer 3

Aquí es un poco torpe combinatoria interpretación que trabaja para general $n\ge 3$. Los jugadores a y B, cada uno elige una desordenada par de números de los números de $1$$n$. De cuántas maneras puede ocurrir que los Jugadores a y B eligieron diferentes pares?

Es claro que el número de maneras es $\binom{n}{2}^2 -\binom{n}{2}$.

Ahora nos cuentan de otra manera. Agregar a nuestra colección de $\{1,2,\dots,n\}$ el objeto abstracto $\ast$, y elija $4$ objetos a partir de este conjunto extendido. Esto se puede hacer en $\binom{n+1}{4}$ maneras.

Si no elegimos $\ast$ entre el$4$, $4$ objetos pueden ser distribuidos entre a y B en $3!$ maneras. Si $\ast$ es elegido, que es una indicación de que uno de los otros tres números elegido es el de estar en Una mano y la B de la mano. En este caso, de nuevo, la distribución se puede hacer en $3!$ maneras. Esto le da un recuento de $3!\binom{n+1}{4}$ formas de a y B para elegir dos diferentes pares de números de $\{1,2,\dots,n\}$.

Answer 4

$$\binom {n}{2}=n(n-1)/2 =f(n).$$ $$\binom {n+1}{4}=(n+1)n(n-1)(n-2)/24=g(n).$$ $$3!=6.$$ For all n we have $$f(n)^2-f(n)=(n^4-2 n^3-n^2+2 n)/4=6 g(n).$$

Answer 5

Tenemos $\binom{21}{2}=210$ $\binom{22}{4}=7315$ . Entonces $$ \binom{21}{2}^2-\binom{21}{2}=210^2-210=210\cdot (210-1)=43890=6 \cdot 7315=3! \binom{22}{4}. $$