Yo no estoy familiarizado con la manera de calcular las integrales de superficie. Supongo que usted quiere para calcular el flujo del campo vectorial $\vec{F} = (x,y^2,z^2)$ a través de esa superficie.
Podemos parametrizar la superficie con
$$\mathbf{r}(u,v) = (u^2, v, u), \quad \begin{cases} -3 \leq u \leq 3, \\ 1 \leq v \leq 3. \end{cases}$$
Computación $\partial \mathbf{r} / \partial u, \partial \mathbf{r} / \partial v$ y tomar la cruz de productos encontramos
$$\vec{N} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (-1,0,2u).$$
La restricción de nuestro campo de vectores a la superficie de los rendimientos
$$\vec{F} (\mathbf{r}(u,v)) = (u^2, v^2, u^2),$$
y la superficie de la integral se convierte en
$$
\begin{align}
\iint\limits_{\Sigma} \vec{F} \cdot d \vec{S} & = \int_1^3 \int_{-3}^3 (u^2, v^2, u^2) \cdot (-1, 0, 2u) \, du \, dv \\
& = \int_1^3 \int_{-3}^3 -u^2 +2u^3 \, du \, dv \\
& = 2 \int_{-3}^3 2u^3 - u^2 \, du \\
& = 2 - \frac{u^3}{3} \bigg\vert_{-3}^3 \\
& = 2 \cdot (-2) \cdot 9 = -36.
\end{align}
$$
He utilizado ese $2u^3$ es una extraña función en un intervalo simétrico centrado en el origen, por lo tanto, su integral es cero, dejando sólo el $-u^2$ a ser integrado, una función par. Aquí una imagen de la superficie, cortesía de Mathematica:
![x=z^2]()
El problema de aplicar el teorema de la divergencia es que no es una superficie cerrada, por lo tanto, no se puede utilizar.
