Cómo demostrar que el conjunto de los números irracionales es un Espacio Baire ?
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Veamos. La definición de un espacio de Baire es que una intersección contable de conjuntos abiertos densos es densa. Así que dejemos que $I$ sea el espacio de los números irracionales, y sea $U_1,U_2,U_3,\dots$ sea una secuencia de subconjuntos abiertos densos de $I$ ; tengo que demostrar que $\bigcap_{n=1}^\infty U_n$ es denso. Ahora, " $U$ está abierto en $I$ " significa que $U=V\cap I$ para algunos $V$ que está abierto en $\mathbb R$ Además, si $V\cap I$ es denso en $I$ entonces (ya que $I$ es denso en $\mathbb R$ ) es denso en $\mathbb R$ y también lo es $V$ . Así que es suficiente para mostrar es que, si $V_1,V_2,\dots$ es una secuencia de conjuntos abiertos densos en $\mathbb R$ entonces $\bigcap_{n=1}^\infty(V_n\cap I)=(\bigcap_{n=1}^\infty V_n)\cap I$ es denso. Pero $I$ es una intersección contable de subconjuntos abiertos densos de $\mathbb R$ a saber, $I=\bigcap_{q\in\mathbb Q}(\mathbb R\setminus\{q\})$ . Así que ahora tengo que demostrar que $(\bigcap_{n=1}^\infty V_n)\cap\bigcap_{q\in\mathbb Q}(\mathbb R\setminus\{q\})$ es denso, pero es una intersección contable de subconjuntos abiertos densos de $\mathbb R$ así que por el teorema de la categoría Baire
Jan Gorman
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El teorema de la categoría de Baire proporciona condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire. Es una herramienta importante en topología y análisis funcional. (BCT1) Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire. Más generalmente, todo espacio topológico que es homeomorfo a un subconjunto abierto de un espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. En particular, todo espacio completamente metrizable es un espacio de Baire. (BCT2) Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire. La BCT1 muestra que cada uno de los siguientes es un espacio de Baire: El espacio R de los números reales; El espacio de los números irracionales; El conjunto de Cantor; De hecho, todo espacio polaco;
http://en.wikipedia.org/wiki/Baire_space
http://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space
otra definición :
Un espacio topológico X en el que cada subconjunto de X de la "primera categoría" tiene un interior vacío. Un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico completo es un espacio de Baire, ,donde la terminología homeomorfa :
dos objetos son homeomórficos si se pueden deformar el uno en el otro mediante un mapeo continuo e invertible
