Cuando se cancelaciones permitido en el anillo?

Question

Durante la conferencia de mi professored menciona algo como "cancelación está perfectamente bien en un anillo cuando se trata con la adición, pero no con la multiplicación!". El ejemplo que él dio fue que, en $\mathbb{Z}_6$, $[3]\times[2]=[3]\times[0]=[0]$, pero, obviamente,$[2]\neq[0]$. Tengo esa parte.

Pero, ¿por qué cancelación además es válido? No acabo de conseguir que. Para dar un ejemplo, cuando se acredite que el $f(0)=0$ si $f$ es un isomorfismo, tenemos algo como $f(0)=f(0)+f(0) \implies f(0)=0$. ¿Por qué sólo mover un $f(0)$ para el otro lado?

Yo tenía la sospecha de que es porque siempre podemos agregar $-f(0)$ a ambos lados de la ecuación y, a continuación, que iba a dejar que el lado izquierdo es igual a cero. Pero entonces la pregunta es "¿por qué se puede añadir la misma cosa en ambos lados de la ecuación es todavía la tiene?"

Alguien me puede ayudar con esto? Gracias!

Answer 1

Su sospecha es correcta: usted puede agregar $-f(0)$ a ambos lados, y después de la aplicación de algunos de los axiomas de anillo, el $f(0)$ desaparece. Usted no puede hacer esto para la multiplicación porque no hay necesariamente recíproca.

Como en "¿por qué se puede añadir/restar/multiplicar/etc cosas a ambos lados de la ecuación", es sólo una propiedad de las funciones. Por ejemplo, vamos a mostrar que $a = b \implies a + c = b + c$. Definir $f(x)$$x + c$. Desde $a = b$, sabemos que $f(a) = f(b)$, dado que las funciones son de un solo valor. Por lo $a + c = b + c$.

Usted realmente no necesita para definir $f$ a de hacerlo, ya $+$ es una función definida ya, pero si lo hace, podría hacer más claro para usted.

Answer 2

"¿por qué se puede añadir la misma cosa en ambos lados de la ecuación es todavía la tiene?"

Porque además es una función de $R\times R\to R$.

En particular, la restricción a $\{x\}\times R\to R$ Es una función, y en realidad se puede ver esto como una función de $R\to R$.

Es por eso que la adición de un elemento que conserva los lados de una igualdad: es una relación funcional.

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De manera más general, las cancelaciones se va a celebrar en cualquier grupo por exactamente la misma razón. En un monoid, como el multiplicativo monoid de un anillo, siempre vas a ser capaz de cancelar un elemento con una relación inversa, por la misma razón.

Por último, uno más de lo que ella dice acerca de la multiplicación de la cancelación. De manera más general, los anillos de la llamada "integral dominios" admitir multiplicativo de cancelación de cero elementos, incluso si no tienen inversas.

Answer 3

La razón que usted puede agregar algo a ambos lados de una ecuación y tiene que ser verdad es un caso especial de la "sustitución de la propiedad de la igualdad", que es un axioma de la igualdad como inherentes a la reflexividad, simetría y transitividad. Se dice que si $b=c$, e $F(x)$ es cualquier expresión, a continuación,$F(b)=F(c)$. En este caso, dejando $F(x)=a+x$, esto significa $b=c$ implica $a+b=a+c$.