Rango de una matriz diagonal con elementos cero, todos los demás elementos, ya sea 1 o -1 y de fila suma de eash fila es 0.

Question

Dejar que Un ser $n \times n$ matriz tal que:

1) todos los elementos de la diagonal son $0$,

2) todos los demás elementos son o $1$ o $-1$

3) número de $1$'s en una fila son iguales al número de $-1$'s en la fila, es decir, la fila de la suma es $0$ para todas las filas.

Es obvio que $n$ es extraño aquí. He hecho algunos experimentos en y se encontró que el rango de una $A$ siempre $n-1$. Alguien me puede ayudar con una prueba? Sólo puedo ver que

\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\ \vdots\\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix}

es un eigen vector con eigen value =0.

Answer 1

Mirar el líder principal de $(n-1)\times(n-1)$ submatriz $A_{n-1}$. En el modulo-2 aritmética, $A_{n-1}=ee^T-I_{n-1}$ donde $e^T=(1,\ldots,1)$. Sus autovalores son $n-2$ $-1$ modulo $2$, que son cero debido a que $n$ es impar. Por lo $\det A_{n-1}\ne0$ en el modulo-2 aritmética y $\det A_{n-1}\ne0$$\mathbb R$. Por lo tanto $A_{n-1}$ es nonsingular y $A$ rango $n-1$.

Answer 2

Voy a esbozar una prueba ...

Deje $A$ $n$ x $n$ matriz del tipo especificado.

Como se señaló, $n$ debe ser impar.

Deje $B$ $(n-1)$ x $(n-1)$ superior izquierda submatriz de a $A$.

El determinante de a $B$ es la suma de los productos de la generalización de las diagonales.

De la $(n-1)!$ estos productos, el distinto de cero productos son impares (igual a $+1$ o $-1$).

El número de diagonales cuyo producto es distinto de cero es el número de alteraciones de $\{1,...,n-1\}.$

Desde $n-1$ es, incluso, el número de alteraciones es impar.

Por lo tanto, $\text{det}(B)$ es la suma de un número impar de números impares, por lo que es impar, y por lo tanto es distinto de cero.

De ello se desprende que $\text{rank}(A) \ge n-1$.

Desde las columnas de a $A$ suma cero, $\text{rank}(A) \le n-1$.

Por lo tanto,$\text{rank}(A) = n-1$.

Answer 3

Usted ha demostrado que $\mathrm{rank}\, A \leq n-1$. Ahora tome cualquier combinación lineal de menos de $n$ columnas, usando el hecho de que usted va a faltar uno de los elementos con $0$ valor que usted será capaz de demostrar que la suma es cero. Por lo tanto $\mathrm{rank}\, A \geq n -1$.