Límite de la Probabilidad y la Probabilidad de Límite

Question

Deje $\{x_k\}$ $x^*$ ser una secuencia y un punto en $\mathbb{R}^n$, respectivamente. Podemos concluir que $$\lim_{k\to\infty} \mathrm{Prob}(x_k=x^*)=1$$ y $$\mathrm{Prob}(\lim_{k\to\infty} x_k=x^*)=1$$ son equivalentes o que una implica la otra?

Creo que la primera implica la segunda, pero no viceversa desde $x^*$ podría no ser parte de la secuencia.

Answer 1

No implica la otra.

Para ver por qué la primera no implica la segunda, voy a describir una secuencia de variables aleatorias definidas en $\Omega = [0, 1)$. Estas variables serán todos los ser $1$ o $0$ con diferentes probabilidades. Voy a esbozar en donde van a $1$, y son $0$ en otros lugares.

• $X_1(a) = 1$ $[0, 1/2)$
• $X_2(a) = 1$ $[1/2, 1)$
• $X_3(a) = 1$ $[0, 1/4)$
• $X_4(a) = 1$ $[1/4, 1/2)$
• $X_5(a) = 1$ $[1/2, 3/4)$
• $X_6(a) = 1$ $[3/4, 1)$
• $X_7(a) = 1$ $[0, 1/8)$

etc. Observe el patrón; el siguiente par de variables que van a ser $1$ sobre un conjunto de medida de probabilidad $1/8$, y que se desplazará a la derecha hasta que llega a la $1$; a continuación, el siguiente par de variables que van a ser $1$ sobre un conjunto de probabilidad $1/16$, y así sucesivamente.

Tenga en cuenta que estas variables aleatorias satisfacer su primera condición; específicamente, en el que confluyen a $0$ en la probabilidad. Es decir,

• $\mathbb P(X_1 = 0) = 1/2$
• $\mathbb P(X_3 = 0) = 3/4$
• $\mathbb P(X_7 = 0) = 7/8$
• $\mathbb P(X_{15} = 0) = 15/16$

y que $\mathbb P(X_k = 0)$ es una secuencia no decreciente que tiende a $1$. Sin embargo, para no fija $a \in [0, 1)$ es el caso de que $X_k(a) \to 0$, debido a que la secuencia de números oscilará infinitamente muchas veces entre el$0$$1$.

Como usted señaló, a la inversa implicación no es cualquiera; elegir un determinista de la secuencia que converge a algo que no está en la secuencia, por ejemplo,$x_k = 1/k$$x^* = 0$.

Answer 2

Imagínese que tiene un montón de muestra las trayectorias de $x_k$-un infinito montón, de hecho-y además imagino que tratamos $k$ como una especie de índice de tiempo.

Intuitivamente, la primera declaración dice que con el tiempo (es decir, como $k$ aumenta sin límite), la casi totalidad de las trayectorias en cualquier momento será en $x^*$-no sólo arbitrariamente cerca de $x^*$, pero igual a ella. Sin embargo, es posible que las excepciones a cambio de un $k$ para el próximo, con cada trayectoria momentáneamente dejando $x^*$ infinitamente a menudo, de modo que ninguna de las trayectorias en realidad tiene un valor de limitación.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Trajectory} & k = 1 & k = 2 & k = 3 & k = 4 & k = 5 & k = 6 & k = 7 & k = 8 & k = 9 & \ldots \\ \hline A & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \hline B & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \hline C & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \hline D & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \hline E & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \hline F & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \hline G & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots \\ \hline H & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots \\ \hline I & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \ldots \\ \hline J & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \hline \end{array} $$

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En contraste, la segunda declaración se dice que casi la totalidad de las trayectorias conseguirá finalmente arbitrariamente cerca de $x^*$. Sin embargo, puede ocurrir que ninguna de las trayectorias llegue a $x^*$.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Trajectory} & k = 1 & k = 2 & k = 3 & k = 4 & k = 5 & k = 6 & k = 7 & k = 8 & k = 9 & \ldots \\ \hline A & 1 & 1/2 & 1/3 & 1/4 & 1/5 & 1/6 & 1/7 & 1/8 & 1/9 & \ldots \\ \hline B & 1 & 1/2 & 1/4 & 1/8 & 1/16 & 1/32 & 1/64 & 1/128 & 1/256 & \ldots \\ \hline C & 1 & -1/3 & 1/5 & -1/7 & 1/9 & -1/11 & 1/13 & -1/15 & 1/17 & \ldots \\ \hline D & 1 & 1/2 & 1/2 & 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/8 & 1/8 & \ldots \\ \hline E & 1 & 1/2 & 1/3 & 1/5 & 1/7 & 1/11 & 1/13 & 1/17 & 1/19 & \ldots \\ \hline F & 1 & 1/2 & 1/3 & 1/5 & 1/8 & 1/13 & 1/21 & 1/34 & 1/55 & \ldots \\ \hline G & 1 & 2/3 & 1/2 & 1/3 & 1/4 & 1/6 & 1/8 & 1/12 & 1/16 & \ldots \\ \hline H & 1 & 1/2 & 1/6 & 1/12 & 1/20 & 1/30 & 1/42 & 1/56 & 1/72 & \ldots \\ \hline I & 1 & 1/4 & 1/10 & 1/20 & 1/35 & 1/56 & 1/84 & 1/120 & 1/165 & \ldots \\ \hline J & 1 & 1/4 & 1/9 & 1/16 & 1/25 & 1/36 & 1/49 & 1/64 & 1/81 & \ldots \\ \hline \end{array} $$

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Así que ninguno de ellos implica la otra.

Answer 3

Deje $x_k=\frac 1 k$.s., a continuación, $P(x_k=0)=0 \to 0$ pero $P( \lim_{k \to \infty} x_k=0)=1$.

Ahora vamos a $(x_k)$ ser una secuencia de independiente de r.v. ser $0$ con una probabilidad de $1-1/k$ y 1 con probabilidad de $1/k$. Entonces :

$$\lim_{k\to\infty} P(x_k=0)=\lim_{k\to\infty} 1-\frac 1 k = 1$$

Pero $$P(\lim_{k\to\infty} x_k=0)=P(\exists N, \forall k>N, x_k=0)$$

Y

$$P(\exists N, \forall k>N, x_k=0)=P(x_k=1 \text{ finitely often })$$

Pero desde $ \sum P(x_k=1)=\sum \frac 1 k = \infty$, por segundo Borel-Cantelli lema :

$$P(\lim_{k\to\infty} x_k=0)=0.$$