Resolver $x=y\frac{dy}{dx}-\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$

Question

Recientemente he estado aprendiendo sobre ecuaciones diferenciales, y mi profesor ha estado dando algunos ejemplos particularmente difíciles para los que terminamos antes. Nos dio la siguiente ecuación diferencial: $$x=y\frac{dy}{dx}-\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$$ Con la pista "Diferenciar con respecto a $y$ , entonces dejemos que $\frac{dy}{dx}=p$ ". Lo he resuelto después de la lección y me gustaría que alguien comprobara si lo he hecho correctamente o no.

Siguiendo la pista, $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{p}=p+y\frac{dp}{dy}-2p\frac{dp}{dy}$$ Que se reordena a $$p-\frac{1}{p}+y\frac{dp}{dy}=2p\frac{dp}{dy}$$ Multiplicando por $\frac{dy}{dp}$ , $$\left(p-\frac{1}{p}\right)\frac{dy}{dp}+y=2p$$ Reordenando en la forma $\frac{dy}{dp}+f(p)y=g(p)$ y escribir $p-\frac{1}{p}=\frac{p^{2}-1}{p}$ $$\frac{dy}{dp}+\frac{p}{p^{2}-1}y=\frac{2p^{2}}{p^{2}-1}$$ Nuestro factor integrador es $$e^{\int\frac{p}{p^{2}-1}dp}=e^{\frac{1}{2}\ln(p^{2}-1)}=\sqrt{p^{2}-1}$$ Así que tenemos $$\sqrt{p^{2}-1}\frac{dy}{dp}+\frac{p}{\sqrt{p^{2}-1}}y=\frac{2p^{2}}{\sqrt{p^{2}-1}}$$ El lado izquierdo es, por diseño, $\frac{d}{dp}(y\sqrt{p^{2}-1})$ y el lado derecho se puede integrar como sigue: $$\int \frac{2p^{2}}{\sqrt{p^{2}-1}}dp=\int\frac{2(p^{2}-1)+2}{\sqrt{p^{2}-1}}dp=\int 2\sqrt{p^{2}-1}dp+\int \frac{2}{\sqrt{p^{2}-1}} dp$$ Ambos pueden resolverse mediante la sustitución $p=\cosh(u)$ y da $$y\sqrt{p^{2}-1}=p\sqrt{p^{2}+1}-\cosh^{-1}(p)+\alpha$$ Dónde $\alpha$ es una constante arbitraria. Dividiendo, tenemos finalmente $$y=p+\frac{\cosh^{-1}(p)+\alpha}{\sqrt{p^{2}-1}}$$

Aquí estuve atascado durante mucho tiempo, hasta que me di cuenta de que también tenemos la ecuación con la que empezamos: $x=py-p^{2}$ que podemos resolver como una cuadrática en $p$ para obtener también $$p=\frac{y\pm \sqrt{y^{2}-4x}}{2} \implies p^{2}=\frac{y^{2}+y^{2}-4x \pm 2y\sqrt{y^{2}-4x}}{4}$$

Así, $$y=\frac{y\pm \sqrt{y^{2}-4x}}{2}+\frac{\cosh^{-1}\left(\frac{y\pm \sqrt{y^{2}-4x}}{2}\right)+\alpha}{\sqrt{\frac{y^{2}-2x \pm y\sqrt{y^{2}-4x}}{2}-1}}$$

Esto es lo mejor que puedo hacer - tenemos una relación entre $y$ y $x$ - ¿He terminado? ¿Es esta la respuesta correcta? ¿Hay una manera más fácil?

Gracias por su tiempo.

Siguiendo la sugerencia de @Valentin $$\frac{dy}{dp}=1+\frac{\frac{1}{\sqrt{p^{2}-1}}\sqrt{p^{2}-1}-p\frac{\cosh^{-1}(p)+\alpha}{\sqrt{p^{2}-1}}}{p^{2}-1}=1+p\frac{1-\frac{\cosh^{-1}(p)+\alpha}{\sqrt{p^{2}-1}}}{p^{2}-1}$$ Por lo tanto, $$dx=\frac{dy}{p}=dp\left(\frac{1}{p}+\frac{1-\frac{\cosh^{-1}(p)+\alpha}{\sqrt{p^{2}-1}}}{p^{2}-1}\right)$$

Answer 1

$x=y\dfrac{dy}{dx}-\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2$

$\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2-y\dfrac{dy}{dx}+x=0$

Aplicar el método en http://www.ae.illinois.edu/lndvl/Publications/2002_IJND.pdf#page=2 :

Dejemos que $F(x,y,t)=t^2-yt+x~,$

Entonces $\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{t\dfrac{\partial F}{\partial t}}{\dfrac{\partial F}{\partial x}+t\dfrac{\partial F}{\partial y}}=-\dfrac{t(2t-y)}{1+t(-t)}=\dfrac{2t^2}{t^2-1}-\dfrac{ty}{t^2-1}$

$\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{ty}{t^2-1}=\dfrac{2t^2}{t^2-1}$

$y=t+\dfrac{\ln(t+\sqrt{t^2-1})+C_1}{\sqrt{t^2-1}}$

$\therefore\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial t}}{\dfrac{\partial F}{\partial x}+t\dfrac{\partial F}{\partial y}}=-\dfrac{2t-y}{1+t(-t)}=\dfrac{2t}{t^2-1}-\dfrac{y}{t^2-1}=\dfrac{t}{t^2-1}-\dfrac{\ln(t+\sqrt{t^2-1})+C_1}{(t^2-1)^\frac{3}{2}}$

$x=\int\biggl(\dfrac{t}{t^2-1}-\dfrac{\ln(t+\sqrt{t^2-1})+C_1}{(t^2-1)^\frac{3}{2}}\biggr)dt=\dfrac{t(\ln(t+\sqrt{t^2-1})+C_1)}{\sqrt{t^2-1}}+C_2$

Por lo tanto, $\begin{cases}x=\dfrac{t(\ln(t+\sqrt{t^2-1})+C_1)}{\sqrt{t^2-1}}+C_2\\y=t+\dfrac{\ln(t+\sqrt{t^2-1})+C_1}{\sqrt{t^2-1}}\end{cases}$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$dx=\frac{dy}{p} \tag{*}$$ Ya que ha encontrado $y$ en términos de $p$ , puede encontrar $dy$ , sustituye en $(*)$ y obtener la solución en una forma paramétrica algo más aceptable.

Answer 3

Cuadrados completos , creo que esta ecuación se puede escribir como

$$ -x+ \frac{y^{2}}{4}= ( \frac{dy}{dx}- \frac{y}{2})^{2} $$

tomar raíces cuadradas por lo que en un lado nos quedamos con

$$ \sqrt{ -x +\frac{{y}^{2}}{4}} $$

en el otro lado tenemos $$ \frac{dy}{dx}- \frac{y}{2} $$

recuerda que la raíz cuadrada tiene dos solutin con +1 y -1 ahora la ecuación