¿Cuál es la probabilidad de que una ordenación aleatoria de los $7$ enteros resulta en una carrera hacia arriba seguida de una carrera hacia abajo?

Question

Supongamos que los enteros de $1$ a $7$ se ordenan aleatoriamente de izquierda a derecha. Si la ordenación consiste en una secuencia inicial creciente seguida de una secuencia decreciente, entonces decimos que tenemos una carrera ascendente seguida de una descendente.

¿Cuál es la probabilidad de que una ordenación aleatoria de los $7$ enteros resulta en una carrera hacia arriba seguida de una carrera hacia abajo.

Mi intento: Creo que lo he hecho bien, pero estoy buscando verificación u otros métodos interesantes para abordar esto.

He observado que $7$ debe no estar en posición $1$ o $7$ . Al considerar $7$ estar en posición $2$ , usted tiene $6\choose1$ diferentes posibilidades de posición $1$ y posiciones $3$ - $7$ sólo tendría una posibilidad (los dígitos restantes en orden decreciente). Del mismo modo, nosotros $6\choose2$ , $6\choose3$ . $6\choose4$ y $6\choose5$ posibilidades cuando $7$ está en el $3^{rd}$ , $4^{th}$ , $5^{th}$ y $6^{th}$ punto, respectivamente.

Esto da $p$ = ${{6\choose1}+{6\choose2}+{6\choose3}+{6\choose4}+{6\choose5}\over 7!}$ $=$ $.0123$

Answer 1

Esto es $\dfrac{2^6-2}{7!}$ y habría sido $\dfrac{2^6}{7!}$ si hubiera permitido la $7$ en un final (es decir, un recorrido ascendente o descendente de longitud mínima)

El $2^6$ tiene una fácil explicación combinatoria: cada uno de los dígitos $1,2,3,4,5,6$ puede venir tanto antes o después el $7$ y una vez que se han tomado esas decisiones el patrón es fijo