Integración sobre un conjunto acotado

Question

Deje $f,g: S\to \mathbb{R}$. Si asumimos $f$ $g$ son integrables sobre $S$, entonces estoy tratando de mostrar:

Si $f$ $g$ está de acuerdo, excepto en un conjunto de medida cero, entonces $\int_S f=\int_S g$.

También, ¿cómo podemos mostrar:

Si $f(x) \le g(x)$$x \in S$$\int_S f=\int_S g$, $f$ $g$ está de acuerdo, excepto en un conjunto de medida cero.

Answer 1

La primera instrucción que sigue a partir del siguiente hecho: Si $A$ es un conjunto con medida cero, entonces $\int_A f\,dm=0$ para cualquier función medible $f$. Ahora, si $f=g$ $S-A$ donde $A$ es un conjunto con medida cero, entonces tenemos $$\int_S f\,dm=\int_{S-A}f\,dm+\int_{A}f\,dm=\int_{S-A}f\,dm=\int_{S-A}g\,dm=\int_{S-A}g\,dm+\int_{A}g\,dm=\int_S g\,dm.$$

Para la segunda instrucción, si $f\geq g$,$f-g\geq 0$. Para $\epsilon>0$, vamos a $S(\epsilon)=\{x | f(x)-g(x)\geq \epsilon\}$ que es un conjunto medible. Entonces tenemos $$\tag{1}\int_{S(\epsilon)}(f-g)\geq\epsilon\,m(S(\epsilon)).$$ Por supuesto, tenemos $$\tag{2}0=\int_{S}(f-g)dm=\int_{S-S(\epsilon)}(f-g)dm+\int_{S(\epsilon)}(f-g)dm\geq \int_{S(\epsilon)}(f-g)dm$$ desde $f-g\geq 0$$S$. La combinación de $(1)$$(2)$, tenemos $$m(S(\epsilon))=0\mbox{ for all }\epsilon>0.$$ Tenga en cuenta que $$\{x\in S| f(x)\neq g(x)\}=\{x\in S| f(x)>g(x)\}=\bigcup_{n=1}^\infty S(\frac{1}{n}).$$ Esto implica que $\{x\in S| f(x)\neq g(x)\}$ tiene medida cero.